14801. Найдите высоту конуса, вписанного в шар радиуса R
и имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
Ответ. \frac{1}{16}R(23-\sqrt{17})
.
Решение. Пусть r
, l
, h
и S
— радиус основания, образующая, высота и полная поверхность конуса соответственно, \alpha
— угол между высотой и образующей.
Рассмотрим осевое сечение шара и конуса — равнобедренный треугольник с углом \alpha
между высотой h
, опущенной на основание 2r
(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}
), и боковой стороной l
. Радиус описанного круга этого треугольника равен R
.
По теореме синусов
l=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha,
поэтому
h=l\cos\alpha=2R\cos^{2}\alpha,~r=l\sin\alpha=2R\cos\alpha\sin\alpha,
S=\pi rl+\pi r^{2}=\pi(lr+r^{2})=4\pi R^{2}\cos^{2}\alpha\sin\alpha(1+\sin\alpha).
Обозначим \sin\alpha=t
и найдём t
, для которого функция
f(t)=(1-t^{2})t(1+t)=(1+t)^{2}(t-t^{2})
принимает наибольшее значение на промежутке (0;1)
. При этом t
площадь S
полной поверхности конуса тоже будет наибольшей.
Получаем
f'(t)=2(1+t)(t-t^{2})+(1+t)^{2}(1-2t)=-(1+t)(4t^{2}-t-1)=0.
Условию 0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}
удовлетворяет единственный корень этого уравнения
t_{0}=\frac{1+\sqrt{17}}{8},
причём на промежутке 0\lt t\lt t_{0}
функция f(t)
возрастает, так как f'(t)\gt0
, а на промежутке t_{0}\lt t\lt\frac{\pi}{2}
— убывает, так как f'(t)\lt0
. Значит, наибольшее значение функции на рассматриваемом промежутке равно f(t_{0})
.
В этом случае
h=2R\cos^{2}\alpha=2R(1-\sin^{2}\alpha)=2R(1-t_{0}^{2})=2R\left(1-\left(\frac{1+\sqrt{17}}{8}\right)^{2}\right)=\frac{1}{16}R(23-\sqrt{17}).
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1977, задача 4, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 5, с. 51, задача 4, вариант 1