14802. Вектор \overrightarrow{c}
, перпендикулярный векторам \overrightarrow{a}=(1;1;1)
и \overrightarrow{b}=(1;-1;3)
, образует с осью Oz
тупой угол. Найдите его координаты, если известно, что |\overrightarrow{c}|=3
.
Ответ. \left(\sqrt{6};-\frac{\sqrt{6}}{2};-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)
.
Решение. Из условия следует, что координаты (x;y;z)
вектора \overrightarrow{c}
удовлетворяют системе
\syst{x+y+z=0\\x-y+3z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\\z\lt0}~\Leftrightarrow~\syst{x=-(y+z)\\y=z\\(y+z)^{2}+y^{2}+z^{2}=9\\z\lt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=-2z\\y=z\\4z^{2}+z^{2}+z^{2}=9\\z\lt0\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{x=-2z\\y=z\\6z^{2}=9\\z\lt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=\sqrt{6}\\y=-\frac{\sqrt{6}}{2}\\z=-\frac{\sqrt{6}}{2}.\\}
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1977, задача 4, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 5, с. 51, задача 4, вариант 1