14803. Вектор \overrightarrow{a}
, у которого первая координата больше второй, перпендикулярен вектору \overrightarrow{b}=(1;-3;-1)
и образует с осью Oz
угол 135^{\circ}
. Найдите его координаты, если известно, что |\overrightarrow{a}|=5\sqrt{2}
.
Ответ. (4;3;-5)
.
Решение. Из условия следует, что координаты (x;y;z)
вектора \overrightarrow{c}
удовлетворяют системе
\syst{x\gt y\\x-3y-z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=50\\\frac{z}{\sqrt{1\cdot(x^{2}+y^{2}+z^{2})}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\}~\Leftrightarrow~\syst{x\gt y\\x=3y+z\\(y+5)^{2}+y^{2}+25=50\\z=-5\\}~\Leftrightarrow~\syst{x\gt y\\x=3y-5\\(3y-5)^{2}+y^{2}+25=50\\z=-5z\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{x\gt y\\x=3y-5\\y(y-3)=0\\z=-5\\}~\Leftrightarrow~\syst{x=4\\y=3\\z=-5.\\}
Источник: Вступительный экзамен на факультет прикладной математики — процессов управления ЛГУ. — 1977, задача 4, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 5, с. 51, задача 4, вариант 1