14804. Каков должен быть радиус основания конуса с заданной площадью боковой поверхности S
, чтобы объём конуса был наибольшим?
Ответ. \sqrt{\frac{S}{\pi\sqrt{3}}}
.
Решение. Пусть r
, l
, h
и S
— радиус основания, образующая, высота, опущенная на основание, S
и V
— полная поверхность и объём конуса соответственно.
S=\pi rl~\Rightarrow~l=\frac{S}{\pi r}.
Рассмотрим осевое сечение шара и конуса — равнобедренный треугольник с боковой стороной l
и основанием 2r
. По теореме Пифагора
h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}~\Rightarrow~V=V(r)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^{2}\sqrt{l^{2}-r^{2}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}\sqrt{\left(\frac{S}{\pi r}\right)^{2}-r^{2}}=
=\frac{1}{3}\pi\sqrt{\frac{Sr^{2}}{\pi^{2}}-r^{6}}=\frac{1}{3}\pi\sqrt{\frac{S^{2}t}{\pi^{2}}-t^{3}},
где t=r^{2}
. Поскольку для положительных r
функция t=r^{2}
возрастает, наибольшее значение функции V(r)
равно наибольшему значению функции V(r^{2})=V(t)
, определённой на промежутке \left(0;\frac{S}{\pi}\right)
.
Далее получаем
V'(t)=\frac{1}{3}\pi\cdot\frac{\frac{S^{2}}{\pi^{2}}-3t^{2}}{2\sqrt{\frac{S^{2}t}{\pi^{2}}-t^{3}}}=0~\Rightarrow~t^{2}=\frac{S^{2}}{3\pi^{2}}~\Rightarrow~t=\frac{S}{\pi\sqrt{3}},
причём на промежутке \left(0;\frac{S}{\pi\sqrt{3}}\right)
функция V(t)
возрастает, так как V'(t)\gt0
, а на промежутке \left(\frac{S}{\pi\sqrt{3}};\frac{S}{\pi}\right)
— убывает, так как V'(t)\lt0
. Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при r=\sqrt{\frac{S}{\pi\sqrt{3}}}
.
Источник: Вступительный экзамен на биолого-почвенный и географический факультеты ЛГУ. — 1977, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 5, с. 52, задача 5