14805. Вектор \overrightarrow{a}
, коллинеарный вектору \overrightarrow{b}=(12;-16;-15)
, образует с осью Oz
острый угол. Найдите его координаты, если известно, что |\overrightarrow{a}|=100
.
Ответ. (-48;64;60)
.
Решение. Из условия следует, что координаты (x;y;z)
вектора \overrightarrow{c}
удовлетворяют системе
\syst{x^{2}+y^{2}+z^{2}=100^{2}\\\frac{x}{12}=-\frac{y}{16}=-\frac{z}{15}\\z\gt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}+y^{2}+z^{2}=100^{2}\\x=-\frac{3}{4}z\\y=\frac{2}{3}z\\z\gt0\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{x=-\frac{9}{16}z\\y=\frac{2}{3}z\\\frac{16}{25}z^{2}+\frac{256}{225}z^{2}+z^{2}=100^{2}\\z\gt0\\}~\Leftrightarrow\syst{x=-\frac{9}{16}z\\y=\frac{2}{3}z\\z^{2}=\frac{100^{2}\cdot15^{2}}{25^{2}}\\z\gt0\\}\Leftrightarrow\syst{x=-\frac{9}{16}z\\y=\frac{2}{3}z\\z^{2}=60^{2}\\z\gt0\\}\Leftrightarrow\syst{x=-48\\y=64\\z=60.\\}
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1977, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 5, с. 52, задача 5
Источник: Вступительный экзамен на биолого-почвенный и географический факультеты ЛГУ. — 1977, задача 5