14806. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковые грани которой наклонены к плоскости основания под углом \varphi
, вписан цилиндр (одно основание цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды, а окружность второго основания имеет по одной точке с каждой боковой гранью пирамиды. Радиус основания цилиндра и его высота равны r
. Найдите объём пирамиды. При каком \varphi
объём пирамиды наименьший?
Ответ. \frac{4}{3}r^{3}\frac{(\tg\varphi+1)^{3}}{\tg^{2}\varphi}
; \varphi=\arctg2
.
Решение. Пусть сторона основания ABCD
правильной четырёхугольной пирамиды PABCD
равна a
, высота PO
пирамиды равна h
; K
— середина стороны AB
основания, одно основание цилиндра касается боковой грани в точке M
, лежащей на апофеме PK
пирамиды, F
— ортогональная проекция точки M
на плоскость основания.
Тогда O
— центр квадрата ABCD
, точка F
лежит на отрезке OK
, OF=r
, \angle OKP=\varphi
. Из прямоугольных треугольников KOP
и KFM
получаем
h=PO=OK\tg\varphi=\frac{a}{2}\tg\varphi.
Тогда
r=OF=OK-FK=OK-MF\ctg\varphi=\frac{a}{2}-r\ctg\varphi,
откуда
a=2r(\ctg\varphi+1)~\Rightarrow~h=\frac{a}{2}\tg\varphi=r(\ctg\varphi+1)\tg\varphi.
Следовательно,
V_{PABCD}=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}a^{2}\cdot\frac{a}{2}\tg\varphi=\frac{1}{6}a^{3}\tg\varphi=\frac{1}{6}(2r(\ctg\varphi+1))^{3}\tg\varphi=\frac{4}{3}r^{3}\frac{(\tg\varphi+1)^{3}}{\tg^{2}\varphi}.
Обозначим \tg\varphi=t
и рассмотрим функцию f(t)=\frac{(t+1)^{3}}{t^{2}}
на промежутке (0;+\infty)
. Найдём t_{0}
из этого промежутка, для которого f(t)
принимает наименьшее значение. Поскольку \tg\varphi
на этом промежутке (0;\frac{\pi}{2})
возрастает, то наименьшее значение объём пирамиды принимает при \varphi=\arctg t_{0}
.
Далее получаем
f'(t)=\left(\frac{(t+1)^{3}}{t^{2}}\right)'=\frac{3(t+1)^{2}\cdot t^{2}-2t(t+1)^{3}}{t^{4}}=\frac{t(t+1)^{2}(t-2)}{t^{4}}=0~\Rightarrow~t=2.
При этом на промежутке (0;2)
функция f(t)
убывает, так как на этом промежутке f'(t)\lt0
, а на промежутке (2;+\infty)
— возрастает, так как на этом промежутке f'(t)\gt0
. Значит, в точке t_{0}=2
функция f(t)
принимает наименьшее значение на промежутке (0;+\infty)
. Следовательно, объём пирамиды наименьший при \varphi=\arctg2
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет Киевского ГУ. — 1977, задача 1
Источник: Журнал «Квант». — 1978, № 6, с. 72, задача 1