\overrightarrow{a}=(x;y;z)

\overrightarrow{b}=(y;-2z;3x)

\overrightarrow{c}=(2z;3x;-y)

\overrightarrow{a}

\overrightarrow{d}=(1;-1;2)

|\overrightarrow{a}|=2\sqrt{3}

\overrightarrow{a}

Oy

\overrightarrow{a}=(2;-2;-2)

|\overrightarrow{a}|=\sqrt{y^{2}+4z^{2}+9x^{2}}=\sqrt{4z^{2}+9x^{2}+y^{2}}=|\overrightarrow{c}|.

(x;y;z)

\overrightarrow{c}

\syst{\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{c}|}\\\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{d}=0\\|\overrightarrow{a}|^{2}=12\\\overrightarrow{a}\cdot(0;1;0)\lt0,\\}

\syst{xy-2yz+3xz=2xz+3xy-yz\\x-y+2z=0\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=12\\z\lt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{2xy+yz-xz=0\\y=x+2z\\x^{2}+y^{2}+z^{2}=12\\y\lt0\\}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\syst{y=x+2z\\2x(x+2z)+z(x+2z)-xz=0\\x^{2}+(x+2z)^{2}+z^{2}=12\\y\lt0}~\Leftrightarrow~\syst{2x^{2}+4xz+2z^{2}=0\\2x^{2}+4xz^{2}+5z^{2}=12\\y=x+2z\\y\lt0\\}~\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~\syst{3z^{2}=12\\2x^{2}-8x+8=0\\y=x+2z\\y\lt0\\}~\Leftrightarrow~\syst{z=\pm2\\x=2\\y=2\pm4\\y\lt0}~\Leftrightarrow~\syst{x=2\\y=-2\\z=-2.\\}