14809.
SABC
— единичный правильный тетраэдр. Сфера касается рёбер
AS
,
AC
и
AB
и проходит через середину ребра
BC
. Найдите радиус сферы, если известно, что её центр лежит внутри тетраэдра.
Ответ.
\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Заметим, что центр сферы лежит на высоте
AH
тетраэдра. Сечение тетраэдра плоскостью
SBC
— равносторонний треугольник
SBC
, в который вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в его серединах. Значит, сфера проходит также через середины рёбер
SB
и
SC
. Кроме того, сфера касается остальных рёбер тетраэдра в их серединах, а центр
O
сферы — точка пересечения высот тетраэдра, т. е. точка, которая делит каждую высоту в отношении
3:1
, считая от вершины тетраэдра.
Пусть
R
— искомый радиус сферы,
M
— середина ребра
BC
. Из прямоугольного треугольника
MOH
с катетами
OH=\frac{1}{4}AH=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}},~HM=\frac{1}{2\sqrt{3}}

и гипотенузой
OM=R
по теореме Пифагора получаем
R^{2}=OM^{2}=\left(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1}{8}.

Следовательно,
R=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 4, вариант 1