14809. SABC
— единичный правильный тетраэдр. Сфера касается рёбер AS
, AC
и AB
и проходит через середину ребра BC
. Найдите радиус сферы, если известно, что её центр лежит внутри тетраэдра.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Заметим, что центр сферы лежит на высоте AH
тетраэдра. Сечение тетраэдра плоскостью SBC
— равносторонний треугольник SBC
, в который вписана окружность, касающаяся сторон треугольника в его серединах. Значит, сфера проходит также через середины рёбер SB
и SC
. Кроме того, сфера касается остальных рёбер тетраэдра в их серединах, а центр O
сферы — точка пересечения высот тетраэдра, т. е. точка, которая делит каждую высоту в отношении 3:1
, считая от вершины тетраэдра.
Пусть R
— искомый радиус сферы, M
— середина ребра BC
. Из прямоугольного треугольника MOH
с катетами
OH=\frac{1}{4}AH=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}},~HM=\frac{1}{2\sqrt{3}}
и гипотенузой OM=R
по теореме Пифагора получаем
R^{2}=OM^{2}=\left(\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{1}{24}+\frac{1}{12}=\frac{1}{8}.
Следовательно,
R=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1980, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 4, вариант 1