14810. Сфера касается бокового ребра AA'
и непараллельных рёбер AB
и A'D'
оснований единичного куба ABCDA'B'C'D'
и проходит через точку M
бокового ребра CC'
, CM=\frac{1}{3}
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Плоскость грани AA'D'D
пересекает сферу по окружности, касающейся рёбер AA'
и A'D'
в точках T
и R
соответственно, а плоскость грани AA'B'B
пересекает сферу по окружности, касающейся рёбер AA'
и AB
в точках T
и S
соответственно. Центр O
сферы — пересечение перпендикуляров к указанным граням, восставленных из центров соответственно O_{1}
и O_{2}
этих окружностей. Поскольку точки O_{1}
и O_{2}
лежат на биссектрисах углов при вершинах соответственно A'
и A
квадратов AA'D'D
и AA'B'B
, эти перпендикуляры лежат а плоскостях соответственно A'DCB'
и AB'C'D
, поэтому точка O
на прямой B'D
их пересечения.
Ортогональная проекция P
произвольной точки U
прямой прямой B'D
на плоскость грани ABCD
лежит на диагонали BD
квадрата ABCD
, поэтому расстояние от точки O
до ребра AA'
равно AP
. Аналогично, расстояние от точки U
до прямой CC'
равно CP
, а так как CP=AP
, то точка любая точка U
( в частности, точка O
) прямой B'D
равноудалена от прямых AA'
и CC'
. При этом сфера касается прямой AA'
, значит, она касается и прямой CC'
, а плоскость TOM
параллельна грани ABCD
.
Пусть r
— радиус сферы, а K
и L
— ортогональные проекции точки P
на стороны соответственно AB
и AD
квадрата ABCD
. Тогда
r=OM=OT=PA=\sqrt{AK^{2}+KP^{2}}=\sqrt{AK^{2}+AL^{2}}=
=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 4, вариант 2