14810. Сфера касается бокового ребра
AA'
и непараллельных рёбер
AB
и
A'D'
оснований единичного куба
ABCDA'B'C'D'
и проходит через точку
M
бокового ребра
CC'
,
CM=\frac{1}{3}
. Найдите радиус сферы.
Ответ.
\frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Плоскость грани
AA'D'D
пересекает сферу по окружности, касающейся рёбер
AA'
и
A'D'
в точках
T
и
R
соответственно, а плоскость грани
AA'B'B
пересекает сферу по окружности, касающейся рёбер
AA'
и
AB
в точках
T
и
S
соответственно. Центр
O
сферы — пересечение перпендикуляров к указанным граням, восставленных из центров соответственно
O_{1}
и
O_{2}
этих окружностей. Поскольку точки
O_{1}
и
O_{2}
лежат на биссектрисах углов при вершинах соответственно
A'
и
A
квадратов
AA'D'D
и
AA'B'B
, эти перпендикуляры лежат а плоскостях соответственно
A'DCB'
и
AB'C'D
, поэтому точка
O
на прямой
B'D
их пересечения.
Ортогональная проекция
P
произвольной точки
U
прямой прямой
B'D
на плоскость грани
ABCD
лежит на диагонали
BD
квадрата
ABCD
, поэтому расстояние от точки
O
до ребра
AA'
равно
AP
. Аналогично, расстояние от точки
U
до прямой
CC'
равно
CP
, а так как
CP=AP
, то точка любая точка
U
( в частности, точка
O
) прямой
B'D
равноудалена от прямых
AA'
и
CC'
. При этом сфера касается прямой
AA'
, значит, она касается и прямой
CC'
, а плоскость
TOM
параллельна грани
ABCD
.
Пусть
r
— радиус сферы, а
K
и
L
— ортогональные проекции точки
P
на стороны соответственно
AB
и
AD
квадрата
ABCD
. Тогда
r=OM=OT=PA=\sqrt{AK^{2}+KP^{2}}=\sqrt{AK^{2}+AL^{2}}=

=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 4
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 4, вариант 2