14810. Сфера касается бокового ребра AA'
и непараллельных рёбер AB
и A'D'
оснований единичного куба ABCDA'B'C'D'
и проходит через точку M
бокового ребра CC'
, CM=\frac{1}{3}
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \frac{\sqrt{5}}{3}
.
Решение. Геометрическое место точек, равноудалённых от прямых AB
и AA'
есть плоскость AB'C'D
. Геометрическое место точек, равноудалённых от прямых AA'
и A'D'
, есть плоскость A'B'CD
. Центр O
шара принадлежит обеим указанным плоскостям и, значит, лежит на прямой их пересечения, т. е. на диагонали B'D
куба.
Заметим, что расстояния от точки O
до AA'
и CC'
одинаковы, следовательно, шар касается ребра CC'
в точке M
. Тогда OM
— перпендикуляр к CC'
.
Пусть OP
— перпендикуляр к плоскости ABCD
, PQ
— перпендикуляр к прямой CD
. Тогда
OP=MC=\frac{1}{3},~PD=\frac{1}{3}BD=\frac{\sqrt{2}}{3},~PQ=\frac{1}{3}~CQ=\frac{2}{3}CD.
По теореме Пифагора
OM^{2}=PC^{2}=CQ^{2}+PQ^{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{9}.
Следовательно, R=OM=\frac{\sqrt{5}}{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1980, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 128, задача 5, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1981, № 4, с. 48, задача 4, вариант 2