14813. Дана правильная треугольная пирамида ABCD
, все рёбра которой равны 1. Шар радиуса \frac{3}{2\sqrt{6}}
касается граней трёхгранного угла с вершиной A
, другой шар радиуса \frac{1}{2\sqrt{6}}
касается граней трёхгранного угла с вершиной B
, рёбра которого — продолжения отрезков AB
, CB
и DB
за вершину B
. Найдите расстояние между центрами шаров.
Ответ. \sqrt{2}
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных шаров радиусов r_{1}=\frac{3}{2\sqrt{6}}
и r_{2}=\frac{1}{2\sqrt{6}}
соответственно (см. рис. 1), O
— центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD
. Радиус этого шара составляет четвёртую часть высоты DH
тетраэдра, т. е.
r=OH=\frac{1}{4}DH=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}.
Поскольку данные шары с центрами O_{1}
и O_{2}
касаются граней соответствующих трёхгранных углов, их центры лежат на прямых AO
и OB
соответственно. При этом r_{1}=3r
и r_{2}=r
.
Пусть P
и Q
— точки касания шаров с центрами соответственно O_{1}
и O_{2}
с плоскостью ABC
. Из подобия прямоугольных треугольников APO_{1}
и AHO
следует, что AO_{1}=3AO
, а из равенства прямоугольных треугольников BQO_{2}
и BHO
— OO_{2}=2OB
.
Пусть K
— середина ребра AB
, а T
— точка на луче KQ
, причём BT=BK
. Тогда OK\perp AB
, а так как \frac{AT}{AK}=3=\frac{AO_{1}}{AO}
, то TO_{1}\parallel OK
и O_{1}T\perp AT
. Аналогично докажем, что O_{2}T\perp AT
. Значит, точки O_{1}
, T
, O_{2}
лежат на одной прямой (см. рис. 2). Следовательно,
O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=3OK+OK=4OK=4\sqrt{OH^{2}+HK^{2}}=4\sqrt{r^{2}+HK^{2}}=
=4\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{6}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}}=4\sqrt{\frac{1}{24}+\frac{1}{12}}=4\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 5, вариант 2