14813. Дана правильная треугольная пирамида
ABCD
, все рёбра которой равны 1. Шар радиуса
\frac{3}{2\sqrt{6}}
касается граней трёхгранного угла с вершиной
A
, другой шар радиуса
\frac{1}{2\sqrt{6}}
касается граней трёхгранного угла с вершиной
B
, рёбра которого — продолжения отрезков
AB
,
CB
и
DB
за вершину
B
. Найдите расстояние между центрами шаров.
Ответ.
\sqrt{2}
.
Решение. Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры данных шаров радиусов
r_{1}=\frac{3}{2\sqrt{6}}
и
r_{2}=\frac{1}{2\sqrt{6}}
соответственно (см. рис. 1),
O
— центр шара, вписанного в правильный тетраэдр
ABCD
. Радиус этого шара составляет четвёртую часть высоты
DH
тетраэдра, т. е.
r=OH=\frac{1}{4}DH=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}.

Поскольку данные шары с центрами
O_{1}
и
O_{2}
касаются граней соответствующих трёхгранных углов, их центры лежат на прямых
AO
и
OB
соответственно. При этом
r_{1}=3r
и
r_{2}=r
.
Пусть
P
и
Q
— точки касания шаров с центрами соответственно
O_{1}
и
O_{2}
с плоскостью
ABC
. Из подобия прямоугольных треугольников
APO_{1}
и
AHO
следует, что
AO_{1}=3AO
, а из равенства прямоугольных треугольников
BQO_{2}
и
BHO
OO_{2}=2OB
.
Пусть
K
— середина ребра
AB
, а
T
— точка на луче
KQ
, причём
BT=BK
. Тогда
OK\perp AB
, а так как
\frac{AT}{AK}=3=\frac{AO_{1}}{AO}
, то
TO_{1}\parallel OK
и
O_{1}T\perp AT
. Аналогично докажем, что
O_{2}T\perp AT
. Значит, точки
O_{1}
,
T
,
O_{2}
лежат на одной прямой (см. рис. 2). Следовательно,
O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=3OK+OK=4OK=4\sqrt{OH^{2}+HK^{2}}=4\sqrt{r^{2}+HK^{2}}=

=4\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{6}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^{2}}=4\sqrt{\frac{1}{24}+\frac{1}{12}}=4\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}.

Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1981, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 5, с. 45, задача 5, вариант 2