14816. Плоскости \alpha
и \beta
, заданные уравнениями 2x+3y+4z-8=0
и 4x+y+3z-6=0
, пересекаются по прямой p
. Найдите:
а) координаты точки пересечения прямой p
с плоскостями xOy
и yOz
;
б) угол между прямой p
и плоскостью xOz
.
Ответ. а) (1;2;0)
и (0;0;2)
; б) \arcsin\frac{\sqrt{2}}{6}
.
Решение. Пусть прямая p
пересекает плоскость xOy
в точке A
, а плоскость yOz
— в точке B
. Тогда координаты точек A
и B
— решения систем
\syst{2x+3y+4z-8=0\\4x+y+3z-6=0\\z=0}~\mbox{и}~\syst{2x+3y+4z-8=0\\4x+y+3z-6=0\\x=0,}
т. е. координаты точки A
— (1;2;0)
, а координаты точки B
— (0;0;2)
.
б) В качестве направляющего вектора прямой p
возьмём вектор \overrightarrow{BA}=(1;2;-2)
, а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости xOz
(вектора нормали), — вектор \overrightarrow{n}=(1;0;1)
. Пусть \varphi
— угол между векторами AB
и \overrightarrow{n}
, а искомый угол между прямой p
и плоскостью \alpha
равен \psi
. Тогда
\sin\psi=|\cos\varphi|=\left|\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{n}|}\right|=\left|\frac{1\cdot1+2\cdot0+(-2)\cdot1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-2)^{2}}\cdot\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}\right|=\left|\frac{-1}{3\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}.
Следовательно, \psi=\arcsin\frac{\sqrt{2}}{6}
.
Источник: Вступительный экзамен в МИФИ. — 1981
Источник: Журнал «Квант». — 1982, № 6, с. 52, задача 9