14818. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
и DD'
. Плоскость \alpha
перпендикулярна прямой A'C'
, а плоскость \beta
параллельна прямой CD'
. Каков наименьший возможный угол между этими плоскостями.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что куб единичный.
Введём прямоугольную систему координат Dxyz
с началом в вершине D
, направив оси Dx
, Dy
и Dz
по лучам DA
, DC
и DD'
соответственно. Без ограничения общности в качестве плоскости \alpha
возьмём плоскость BB'D'D
, перпендикулярную прямой A'C'
, а в качестве плоскости \beta
— плоскость, проходящую через прямую BA'
, параллельную CD'
и пересекающую прямую AD
в некоторой точке с координатами (a;0;0)
. Заметим, что если a=0
, то угол между этим плоскостями равен углу между прямыми A'C'
и C'D
, им перпендикулярными, т. е. 60^{\circ}
.
Пусть a\gt0
. Тогда уравнение первой из этих плоскостей имеет вид x+y=1
, а второй — \frac{x}{a}+y+z=1
(уравнения плоскостей в отрезках). Тогда задача сводится к нахождению наименьшего возможного угла \varphi
между векторами, соответственно перпендикулярными этим плоскостям (векторами нормали), т. е. наибольшего возможного значения |\cos\varphi|
.
В качестве таких векторов возьмём векторы \overrightarrow{n}=(1;1;0)
и \overrightarrow{m}=(t;1;1)
, где t=\frac{1}{a}
. Тогда
|\cos\varphi|=\left|\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|\cdot|\overrightarrow{m}|}\right|=\left|\frac{1\cdot t+1\cdot1+0\cdot1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}\cdot\sqrt{t^{2}+1^{2}+1^{2}}}\right|=\frac{t+1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{t^{2}+2}}.
Рассмотрим функцию f(t)=\frac{(t+1)^{2}}{t^{2}+2}
. Найдём её наибольшее значение на промежутке t\gt0
:
f'(t)=\frac{2(t+1)(t^{2}+2)-2t(t+1)^{2}}{(t^{2}+2)^{2}}=\frac{2(t+1)(t^{2}+2-t^{2}-t)}{(t^{2}+2)^{2}}=\frac{2(t+1)(2-t)}{(t^{2}+2)^{2}};
f'(t)=0
при t=2
; при 0\lt t\lt2
функция f(t)
возрастает, так как f'(t)\gt0
; при t\gt2
функция f(t)
убывает, так как f'(t)\lt0
; значит, при t=2
функция f(t)
(а значит, и |\cos\varphi|
) достигает наибольшего значения.
Таким образом, в этом случае наибольшее значение |\cos\varphi|
равно
\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{f(2)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{3}{\sqrt{4+2}}=\frac{3}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
а так как 30^{\circ}\lt60^{\circ}
, то искомое наименьшее значение \varphi
равно 30^{\circ}
.
Если a\lt0
, получим тот же результат, взяв в качестве плоскости \beta
плоскость, проходящую через прямую CD'
и пересекающую прямую AD
в точке с отрицательной абсциссой.
Источник: Вступительный экзамен на математико-механический факультет ЛГУ (СПбГУ). — 1982, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1983, № 5, с. 53, задача 5, вариант 1