14819. Шар радиуса R
и окружность радиуса \frac{5}{4}R
имеют общий центр O
. Точка O
расположена в пространстве так, что OA=\frac{5}{4}R
и множество точек, которые можно соединить с A
прямой, не пересекающейся с шаром, есть дуга, соответствующая центральному углу \alpha
. Найдите угол между прямой OA
и плоскостью, содержащей данную окружность.
Ответ. \arccos\frac{7}{25\cos\frac{\alpha}{2}}
, 0\lt\alpha\lt2\arccos\frac{7}{25}
.
Решение. Пусть P
и Q
— концы дуги, о которой говорится в условии задачи; \angle POQ=\alpha
, OH
— высота равнобедренного треугольника PAQ
. Тогда прямые AP
и AQ
касаются данной сферы в некоторых точках M
и N
соответственно. Без ограничения общности можно считать, что R=1
.
Из равнобедренного треугольника AOP
с боковыми сторонами OA=OP=\frac{5}{4}
и высотой OM=1
находим, что
AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}-1}=\frac{3}{4}~\Rightarrow~AP=2AM=\frac{3}{2}.
Из равнобедренного треугольника POQ
с боковыми сторонами OP=OQ=\frac{5}{4}
и углом \alpha
при вершине O
находим, что
OH=OP\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{4}\cos\frac{\alpha}{2},~PH=OP\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{5}{4}\sin\frac{\alpha}{2}.
Из прямоугольного треугольника AHP
находим, что
AH=\sqrt{AP^{2}-PH^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{25}{16}\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{36-25\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{11+25\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}.
Обозначим через \varphi
искомый угол между прямой OA
и плоскостью, содержащей данную окружность, т. е. \angle\varphi=\angle AOH
. По теореме косинусов из треугольника AOH
находим
\cos\varphi=\frac{OA^{2}+OH^{2}-AH^{2}}{2OA\cdot OH}=\frac{\frac{25}{16}+\frac{25}{16}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}-\frac{1}{16}\cdot\left(11+25\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{4}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{7}{25\cos\frac{\alpha}{2}}.
Следовательно,
\varphi=\arccos\frac{7}{25\cos\frac{\alpha}{2}}.
Задача имеет решение, если
\frac{7}{25\cos\frac{\alpha}{2}},~\mbox{т. е.}~0\lt\alpha\lt2\arccos\frac{7}{25}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет прикладной математики — процессов управления ЛГУ. — 1984, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1985, № 4, с. 54, задача 5, вариант 1