1483. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечена точка M
, причём \angle MAC=\angle MCA
. Докажите, что CM
— медиана треугольника ABC
.
Решение. Треугольник AMC
равнобедренный, поэтому его медиана MK
является высотой. Прямые MK
и BC
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой AC
. Поскольку K
— середина AC
, по теореме Фалеса M
— середина AC
. Следовательно, CM
— медиана треугольника ABC
.