14830. Какой наименьший угол могут образовать векторы (1-5x;1;3)
и (-1;1+4x;3-3x)
?
Ответ. \arccos\frac{9}{10}
.
Решение. Пусть угол между векторами \overrightarrow{a}=(1-5x;1;3)
и \overrightarrow{b}=(-1;1+4x;3-3x)
равен \varphi
. Поскольку
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(1-5x)^{2}+1+9}=\sqrt{25x^{2}-10x+11},
|\overrightarrow{b}|=\sqrt{1+(1+4x)^{2}+(3-3x)^{2}}=\sqrt{25x^{2}-10x+11},
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=(1-5x)\cdot(-1)+1\cdot(1+4x)+3\cdot(3-3x)=5x-1+1+4x+9-9x=9,
учитывая, что 25x^{2}-10x+11\gt0
для всех x
, получаем
\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}=\frac{9}{\sqrt{25x^{2}-10x+11}\cdot\sqrt{25x^{2}-10x+11}}=
=\frac{9}{25x^{2}-10x+11}=\frac{9}{(1-5x)^{2}+10}\leqslant\frac{9}{10},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x=\frac{1}{5}
. Значит, \varphi\geqslant\arccos\frac{9}{10}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда \varphi=\arccos\frac{9}{10}
. Следовательно, наименьший угол между векторами \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
равен \arccos\frac{9}{10}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 1
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 1, вариант 2