14831. В правильной треугольной призме
ABCA'B'C'
с основанием
ABC
и боковыми рёбрами
AA'
,
BB'
,
CC'
все рёбра равны 6. Точки
P
и
Q'
расположены на рёбрах
BC
и
A'C'
соответственно, причём
BP:PC=A'Q':Q'C'=1:2
. Найдите радиус сферы с центром на отрезке
PQ'
, которая касается плоскостей
ABB'A'
и
ACC'A'
.
Ответ.
\sqrt{3}
.
Решение. Высота
CH
равностороннего треугольника
ABC
перпендикулярна плоскости грани
ABB'A
, так как прямая
CH
перпендикулярна пересекающимся прямым
AB
и
A'B'
этой плоскости. Аналогично, высота
C'A'
перпендикулярна плоскости грани
ABB'A'
.
Опустим перпендикуляры
PM
и
Q'N
из точек
P
и
Q'
на рёбра
AB
и
A'B'
соответственно. Эти перпендикуляры соответственно параллельны высотам
CH
и
C'H'
оснований
ABC
и
A'B'C'
, поэтому
PM
и
Q'N
— тоже перпендикуляры к плоскости грани
ABB'A'
. Поскольку каждый из них равен трети соответствующей высоты основания, т. е.
\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
, точки
P
и
Q
равноудалены от плоскости грани
ABB'C'
. Значит, прямая
PQ
параллельна этой плоскости. Следовательно, центр искомой сферы лежит на прямой
PQ'
.
Докажем, что этот центр — середина
O
отрезка
PQ'
. Действительно, пусть
PK
— перпендикуляр к ребру
AC
, а
BG
— высота равностороннего треугольника
ABC
. Тогда перпендикуляр
OD
из точки
O
на плоскость грани
ACC'A'
— средняя линия треугольника
PQ'K
, поэтому
OD=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}BG=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.

Следовательно, точка середина
O
отрезка
PQ'
равноудалена от плоскостей граней
ABB'A'
и
ACC'A'
, т. е.
O
— центр искомой сферы, а радиус сферы равен
\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 5, вариант 2