14831. В правильной треугольной призме ABCA'B'C'
с основанием ABC
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
все рёбра равны 6. Точки P
и Q'
расположены на рёбрах BC
и A'C'
соответственно, причём BP:PC=A'Q':Q'C'=1:2
. Найдите радиус сферы с центром на отрезке PQ'
, которая касается плоскостей ABB'A'
и ACC'A'
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Решение. Высота CH
равностороннего треугольника ABC
перпендикулярна плоскости грани ABB'A
, так как прямая CH
перпендикулярна пересекающимся прямым AB
и A'B'
этой плоскости. Аналогично, высота C'A'
перпендикулярна плоскости грани ABB'A'
.
Опустим перпендикуляры PM
и Q'N
из точек P
и Q'
на рёбра AB
и A'B'
соответственно. Эти перпендикуляры соответственно параллельны высотам CH
и C'H'
оснований ABC
и A'B'C'
, поэтому PM
и Q'N
— тоже перпендикуляры к плоскости грани ABB'A'
. Поскольку каждый из них равен трети соответствующей высоты основания, т. е. \frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}
, точки P
и Q
равноудалены от плоскости грани ABB'C'
. Значит, прямая PQ
параллельна этой плоскости. Следовательно, центр искомой сферы лежит на прямой PQ'
.
Докажем, что этот центр — середина O
отрезка PQ'
. Действительно, пусть PK
— перпендикуляр к ребру AC
, а BG
— высота равностороннего треугольника ABC
. Тогда перпендикуляр OD
из точки O
на плоскость грани ACC'A'
— средняя линия треугольника PQ'K
, поэтому
OD=\frac{1}{2}PK=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}BG=\frac{1}{3}\cdot\frac{6\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Следовательно, точка середина O
отрезка PQ'
равноудалена от плоскостей граней ABB'A'
и ACC'A'
, т. е. O
— центр искомой сферы, а радиус сферы равен \sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1991, задача 5
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 5, вариант 2