14833. В основании треугольной призмы ABCA'B'C'
лежит правильный треугольник ABC
со стороной a
. Ребро AA'
перпендикулярно ребру BC
и образует угол 60^{\circ}
с плоскостью основания ABC
. Призма такова, что в неё можно вписать шар. Найдите объём призмы.
Ответ. \frac{\sqrt{3}(\sqrt{13}-2)a^{3}}{12}
.
Решение. Через центр O
вписанного шара проведём плоскость P
, перпендикулярную боковым рёбрам призмы. Пусть A''
, B''
и CC''
— точки пересечения этой плоскости с рёбрами AA'
, BB'
и CC'
соответственно или с их продолжениями. Любой из радиусов, соединяющих точку O
с точками касания шара и боковых граней, перпендикулярен боковым рёбрам призмы. Значит, все такие радиусы лежат в плоскости P
, а окружность сечения шара плоскостью P
вписана в треугольник A''B''C''
.
Таким образом, для вычисления радиуса вписанного шара достаточно найти радиус окружности, вписанной в треугольник A''B''C''
или в любой другой треугольник, полученный в сечении призмы какой-нибудь плоскостью, параллельной плоскости P
. Найдём, например, радиус окружности, вписанной в сечение BCE
призмы плоскостью, проходящей через ребро BC
и перпендикулярную AA'
(см. рис.).
Пусть A'H
— высота призмы. Тогда AH
— ортогональная проекция наклонной A'A
на плоскость ABC
. По теореме о трёх перпендикулярах AH\perp BC
, поэтому точка H
лежит на медиане AD
равностороннего треугольника ABC
, а прямая AD
— проекция наклонной A'A
на эту плоскость. Значит, \angle DAE=60^{\circ}
.
Далее находим
AD=\frac{a\sqrt{3}}{2},~ED=AD\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a,
CE=BE=\sqrt{ED^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.
Пусть радиус вписанной в треугольник BCE
окружности равен r
. Тогда
S_{\triangle BCE}=r\cdot\frac{2BE+BC}{2}=r(BE+BD)=r\left(\frac{a\sqrt{13}}{4}+\frac{a}{2}\right)=\frac{ar}{4}(\sqrt{13}+2).
С другой стороны
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot ED=\frac{1}{2}a\cdot\frac{3}{4}a=\frac{3}{8}a^{2}.
Из равенства
\frac{ar}{4}(\sqrt{13}+2)=\frac{3}{8}a^{2}
находим, что
r=\frac{3a}{2(2+\sqrt{13})},
а так как высота призмы равна 2r
, то искомый объём равен
S_{\triangle ABC}\cdot2r=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2\cdot3a}{2(2+\sqrt{13})}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{13}-2)a^{3}}{12}.
Примечание. В задаче возможен другой вариант чертежа, когда плоскость CBE
пересекает не ребро AA'
, а его продолжение. В этом случае вместо плоскости CBE
надо рассмотреть другую плоскость, проходящую через ребро B'C'
и перпендикулярную AA'
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 5, задача 5, вариант 1