14833. В основании треугольной призмы
ABCA'B'C'
лежит правильный треугольник
ABC
со стороной
a
. Ребро
AA'
перпендикулярно ребру
BC
и образует угол
60^{\circ}
с плоскостью основания
ABC
. Призма такова, что в неё можно вписать шар. Найдите объём призмы.
Ответ.
\frac{\sqrt{3}(\sqrt{13}-2)a^{3}}{12}
.
Решение. Через центр
O
вписанного шара проведём плоскость
P
, перпендикулярную боковым рёбрам призмы. Пусть
A''
,
B''
и
CC''
— точки пересечения этой плоскости с рёбрами
AA'
,
BB'
и
CC'
соответственно или с их продолжениями. Любой из радиусов, соединяющих точку
O
с точками касания шара и боковых граней, перпендикулярен боковым рёбрам призмы. Значит, все такие радиусы лежат в плоскости
P
, а окружность сечения шара плоскостью
P
вписана в треугольник
A''B''C''
.
Таким образом, для вычисления радиуса вписанного шара достаточно найти радиус окружности, вписанной в треугольник
A''B''C''
или в любой другой треугольник, полученный в сечении призмы какой-нибудь плоскостью, параллельной плоскости
P
. Найдём, например, радиус окружности, вписанной в сечение
BCE
призмы плоскостью, проходящей через ребро
BC
и перпендикулярную
AA'
(см. рис.).
Пусть
A'H
— высота призмы. Тогда
AH
— ортогональная проекция наклонной
A'A
на плоскость
ABC
. По теореме о трёх перпендикулярах
AH\perp BC
, поэтому точка
H
лежит на медиане
AD
равностороннего треугольника
ABC
, а прямая
AD
— проекция наклонной
A'A
на эту плоскость. Значит,
\angle DAE=60^{\circ}
.
Далее находим
AD=\frac{a\sqrt{3}}{2},~ED=AD\sin60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a,

CE=BE=\sqrt{ED^{2}+\frac{1}{4}BC^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}a^{2}+\frac{1}{4}a^{2}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.

Пусть радиус вписанной в треугольник
BCE
окружности равен
r
. Тогда
S_{\triangle BCE}=r\cdot\frac{2BE+BC}{2}=r(BE+BD)=r\left(\frac{a\sqrt{13}}{4}+\frac{a}{2}\right)=\frac{ar}{4}(\sqrt{13}+2).

С другой стороны
S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot ED=\frac{1}{2}a\cdot\frac{3}{4}a=\frac{3}{8}a^{2}.

Из равенства
\frac{ar}{4}(\sqrt{13}+2)=\frac{3}{8}a^{2}

находим, что
r=\frac{3a}{2(2+\sqrt{13})},

а так как высота призмы равна
2r
, то искомый объём равен
S_{\triangle ABC}\cdot2r=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2\cdot3a}{2(2+\sqrt{13})}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{13}-2)a^{3}}{12}.

Примечание. В задаче возможен другой вариант чертежа, когда плоскость
CBE
пересекает не ребро
AA'
, а его продолжение. В этом случае вместо плоскости
CBE
надо рассмотреть другую плоскость, проходящую через ребро
B'C'
и перпендикулярную
AA'
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 5, задача 5, вариант 1