14834. В основании прямой призмы
ABCA'B'C'
лежит прямоугольный треугольник
ABC
с катетами
AB=a
,
AC=2a
. Высота призмы равна
\frac{a}{2}
. Найдите радиус шара, касающегося ребра
B'C'
и граней
AA'B'B
,
AA'C'C
,
ABC
.
Ответ.
\frac{7}{18}a
.
Решение. Пусть
O'
— ортогональная проекция центра
O
шара искомого радиуса
r
на плоскость
A'B'C'
,
d
— расстояние от точки
O'
до гипотенузы
A'B'
,
OH
— перпендикуляр к
B'C'=\sqrt{a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{5}
.
Из прямоугольного треугольника
OO'H
получаем
d=O'H=\sqrt{OH^{2}-OO'^{2}}=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{a}{2}-r\right)^{2}}=\sqrt{ar-\frac{a^{2}}{4}}.

Площадь треугольника
A'B'C'
равна сумме площадей треугольников
A'O'B'
,
A'O'C'
и
B'O'C'
, т. е.
\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}\cdot2ar+\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}\cdot d=\frac{1}{2}a\cdot2a~\Leftrightarrow~ar+2ar+a\sqrt{5}\cdot d=2a^{2}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow~3r+\sqrt{5ar-\frac{5a^{2}}{4}}~\Leftrightarrow~\sqrt{5ar-\frac{5a^{2}}{4}}=2a-3r.

После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения (при условии
r\leqslant\frac{3}{2}a
) и очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
9r^{2}-17ar+\frac{21}{4}a^{2}=0.

Условию задачи удовлетворяет только меньший корень
r=\frac{7}{18}a
этого уравнения (второй корень соответствует случаю, когда шар касается не граней
AA'B'B
и
AA'C'C
, а их продолжений.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 5, задача 5, вариант 2