14834. В основании прямой призмы ABCA'B'C'
лежит прямоугольный треугольник ABC
с катетами AB=a
, AC=2a
. Высота призмы равна \frac{a}{2}
. Найдите радиус шара, касающегося ребра B'C'
и граней AA'B'B
, AA'C'C
, ABC
.
Ответ. \frac{7}{18}a
.
Решение. Пусть O'
— ортогональная проекция центра O
шара искомого радиуса r
на плоскость A'B'C'
, d
— расстояние от точки O'
до гипотенузы A'B'
, OH
— перпендикуляр к B'C'=\sqrt{a^{2}+2a^{2}}=a\sqrt{5}
.
Из прямоугольного треугольника OO'H
получаем
d=O'H=\sqrt{OH^{2}-OO'^{2}}=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{a}{2}-r\right)^{2}}=\sqrt{ar-\frac{a^{2}}{4}}.
Площадь треугольника A'B'C'
равна сумме площадей треугольников A'O'B'
, A'O'C'
и B'O'C'
, т. е.
\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}\cdot2ar+\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{5}\cdot d=\frac{1}{2}a\cdot2a~\Leftrightarrow~ar+2ar+a\sqrt{5}\cdot d=2a^{2}\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~3r+\sqrt{5ar-\frac{5a^{2}}{4}}~\Leftrightarrow~\sqrt{5ar-\frac{5a^{2}}{4}}=2a-3r.
После возведения в квадрат обеих частей последнего уравнения (при условии r\leqslant\frac{3}{2}a
) и очевидных упрощений получаем квадратное уравнение
9r^{2}-17ar+\frac{21}{4}a^{2}=0.
Условию задачи удовлетворяет только меньший корень r=\frac{7}{18}a
этого уравнения (второй корень соответствует случаю, когда шар касается не граней AA'B'B
и AA'C'C
, а их продолжений.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 5, задача 5, вариант 2