14837. В основании пирамиды SABC
лежит правильный треугольник со стороной a
. Ребро SA
перпендикулярно плоскости основания. Известно, что плоскость, проведённая через вершину A
параллельно BC
и касающаяся вписанного шара, перпендикулярна грани SBC
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{3}{32}a^{3}
.
Указание. Пусть D
— середина BC
, а AE
— высота треугольника SAD
. Докажите, что центр вписанного шара лежит на биссектрисе угла EAD
, и найдите тангенс этого угла.
Решение. Плоскость ABC
проходит через прямую BC
, параллельную плоскости, проведённой через вершину A
параллельно BC
и касающейся вписанного шара, значит, прямая MN
пересечения плоскостей параллельна ребру BC
, причём вписанный в пирамиду шар касается прямой AE
.
Пусть O
— центр шара радиуса r
, вписанного в данную пирамиду, F
и G
— точки касания с плоскостями ABC
и ASB
соответственно, а плоскость FOG
пересекает ребро AB
в точке K
. Тогда OFKG
— квадрат со стороной r
, плоскость которого перпендикулярна ребру AB
. Из прямоугольного треугольника AKF
с углом 30^{\circ}
при вершине A
получаем, что AF=2KF=2r
.
Пусть D
— середина ребра BC
. Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью SAD
— прямоугольный треугольник SAD
с высотой AE
и круг, с центром M
и радиусом r
, вписанный в прямоугольный треугольник AEF
и касающийся катета AD
в точке F
.
Обозначим \angle DAE=\angle DSA=\alpha
. Поскольку AO
— биссектриса угла DAE
, угол AOD
равен \frac{\alpha}{2}
. Тогда
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OF}{AF}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2},~\Rightarrow~\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.
Значит,
SA=AD\ctg\angle DSA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ctg\frac{\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3a\sqrt{3}}{8}.
Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3a\sqrt{3}}{8}=\frac{3}{32}a^{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 7, задача 5, вариант 5