14837. В основании пирамиды
SABC
лежит правильный треугольник со стороной
a
. Ребро
SA
перпендикулярно плоскости основания. Известно, что плоскость, проведённая через вершину
A
параллельно
BC
и касающаяся вписанного шара, перпендикулярна грани
SBC
. Найдите объём пирамиды.
Ответ.
\frac{3}{32}a^{3}
.
Указание. Пусть
D
— середина
BC
, а
AE
— высота треугольника
SAD
. Докажите, что центр вписанного шара лежит на биссектрисе угла
EAD
, и найдите тангенс этого угла.
Решение. Плоскость
ABC
проходит через прямую
BC
, параллельную плоскости, проведённой через вершину
A
параллельно
BC
и касающейся вписанного шара, значит, прямая
MN
пересечения плоскостей параллельна ребру
BC
, причём вписанный в пирамиду шар касается прямой
AE
.
Пусть
O
— центр шара радиуса
r
, вписанного в данную пирамиду,
F
и
G
— точки касания с плоскостями
ABC
и
ASB
соответственно, а плоскость
FOG
пересекает ребро
AB
в точке
K
. Тогда
OFKG
— квадрат со стороной
r
, плоскость которого перпендикулярна ребру
AB
. Из прямоугольного треугольника
AKF
с углом
30^{\circ}
при вершине
A
получаем, что
AF=2KF=2r
.
Пусть
D
— середина ребра
BC
. Рассмотрим сечение пирамиды и шара плоскостью
SAD
— прямоугольный треугольник
SAD
с высотой
AE
и круг, с центром
M
и радиусом
r
, вписанный в прямоугольный треугольник
AEF
и касающийся катета
AD
в точке
F
.
Обозначим
\angle DAE=\angle DSA=\alpha
. Поскольку
AO
— биссектриса угла
DAE
, угол
AOD
равен
\frac{\alpha}{2}
. Тогда
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{OF}{AF}=\frac{r}{2r}=\frac{1}{2},~\Rightarrow~\tg\alpha=\frac{2\tg\frac{\alpha}{2}}{1-\tg^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}.

Значит,
SA=AD\ctg\angle DSA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ctg\frac{\alpha}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3a\sqrt{3}}{8}.

Следовательно,
V_{SABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3a\sqrt{3}}{8}=\frac{3}{32}a^{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 5
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 7, задача 5, вариант 5