14839. Дан куб с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. На диагонали BD'
куба выбрана точка F
, причём BF=2FD'
. Через вершину A
, точку F
и середину ребра CC'
проведена плоскость. Найдите отношение объёмов частей, на которые делит куб эта плоскость.
Ответ. 25:47
.
Решение. В плоскости ABC'D'
проведём прямую AF
. Пусть M
— точка пересечения этой прямой с отрезком C'D'
. Треугольник MFD'
подобен треугольнику AFB
с коэффициентом \frac{D'F}{BF}=\frac{1}{2}
, поэтому D'M=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}D'C'
, т. е. M
— середина ребра D'C'
.
Пусть E
— середина ребра CC'
, а прямая EM
, лежащая в плоскости грани CC'D'C
пересекает прямые DC
и DD'
, лежащие в этой же плоскости, в точках P
и N
соответственно. Тогда
CP=C'M=\frac{1}{2}D'C'=\frac{1}{2}DC,~ND'=EC'=\frac{1}{2}CC'=\frac{1}{2}DD'=\frac{1}{2}AA'.
Пусть прямая AN
пересекает ребро A'D'
в точке R
. Тогда треугольник ARA'
подобен треугольнику NRD'
с коэффициентом \frac{AA'}{ND'}=\frac{AA'}{\frac{1}{2}AA'}=2
, поэтому A'R=2RD'
.
Пусть прямая AP
пересекает ребро BC
в точке Q
. Тогда треугольник AQB
подобен треугольнику PQC
с коэффициентом
\frac{AB}{PC}=\frac{DC}{PC}=\frac{DC}{\frac{1}{2}DC}=2.
Таким образом, сечение, о котором говорится в условии — пятиугольник ARMEQ
Объём части куба, содержащей вершину D
, равен объёму V
тетраэдра APDN
за вычетом объёмов V_{1}
и V_{2}
тетраэдров MRD'N
и PQCE
соответственно. Приняв ребро куба за единицу, получаем
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ADP}\cdot ND=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AD\cdot DP\cdot ND=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{8},
V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle MD'R}\cdot ND'=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}D'M\cdot D'R\cdot ND'=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{72},
V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle PCQ}\cdot EC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}CP\cdot CQ\cdot EC=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{72}.
Значит, объём части куба, содержащей вершину D
, равен
V-V_{1}-V_{2}=\frac{3}{8}-2\cdot\frac{1}{72}=\frac{3}{8}-\frac{1}{36}=\frac{25}{72},
а объём оставшейся части куба равен 1-\frac{25}{72}=\frac{47}{72}
. Следовательно, искомое отношение объёмов равно \frac{25}{47}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 1