14839. Дан куб с основанием
ABCD
и боковыми рёбрами
AA'
,
BB'
,
CC'
,
DD'
. На диагонали
BD'
куба выбрана точка
F
, причём
BF=2FD'
. Через вершину
A
, точку
F
и середину ребра
CC'
проведена плоскость. Найдите отношение объёмов частей, на которые делит куб эта плоскость.
Ответ.
25:47
.
Решение. В плоскости
ABC'D'
проведём прямую
AF
. Пусть
M
— точка пересечения этой прямой с отрезком
C'D'
. Треугольник
MFD'
подобен треугольнику
AFB
с коэффициентом
\frac{D'F}{BF}=\frac{1}{2}
, поэтому
D'M=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}D'C'
, т. е.
M
— середина ребра
D'C'
.
Пусть
E
— середина ребра
CC'
, а прямая
EM
, лежащая в плоскости грани
CC'D'C
пересекает прямые
DC
и
DD'
, лежащие в этой же плоскости, в точках
P
и
N
соответственно. Тогда
CP=C'M=\frac{1}{2}D'C'=\frac{1}{2}DC,~ND'=EC'=\frac{1}{2}CC'=\frac{1}{2}DD'=\frac{1}{2}AA'.

Пусть прямая
AN
пересекает ребро
A'D'
в точке
R
. Тогда треугольник
ARA'
подобен треугольнику
NRD'
с коэффициентом
\frac{AA'}{ND'}=\frac{AA'}{\frac{1}{2}AA'}=2
, поэтому
A'R=2RD'
.
Пусть прямая
AP
пересекает ребро
BC
в точке
Q
. Тогда треугольник
AQB
подобен треугольнику
PQC
с коэффициентом
\frac{AB}{PC}=\frac{DC}{PC}=\frac{DC}{\frac{1}{2}DC}=2.

Таким образом, сечение, о котором говорится в условии — пятиугольник
ARMEQ

Объём части куба, содержащей вершину
D
, равен объёму
V
тетраэдра
APDN
за вычетом объёмов
V_{1}
и
V_{2}
тетраэдров
MRD'N
и
PQCE
соответственно. Приняв ребро куба за единицу, получаем
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ADP}\cdot ND=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}AD\cdot DP\cdot ND=\frac{1}{6}\cdot1\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{8},

V_{1}=\frac{1}{3}S_{\triangle MD'R}\cdot ND'=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}D'M\cdot D'R\cdot ND'=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{72},

V_{2}=\frac{1}{3}S_{\triangle PCQ}\cdot EC=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}CP\cdot CQ\cdot EC=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{72}.

Значит, объём части куба, содержащей вершину
D
, равен
V-V_{1}-V_{2}=\frac{3}{8}-2\cdot\frac{1}{72}=\frac{3}{8}-\frac{1}{36}=\frac{25}{72},

а объём оставшейся части куба равен
1-\frac{25}{72}=\frac{47}{72}
. Следовательно, искомое отношение объёмов равно
\frac{25}{47}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 1