14841. Дан куб с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Ребро куба равно a
. Через диагональ BD'
куба проведена плоскость, образующая угол 30^{\circ}
с плоскостью BB'D'D
. Найдите площадь получившегося сечения.
Ответ. \frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть проведённая плоскость пересекает ребра B'C'
и AD
в точках M
и N
соответственно. Тогда точки M
и N
симметричны относительно центра куба, поэтому искомая площадь сечения, т. е. площадь параллелограмма BMD'N
равна удвоенной площади треугольника BMD'
. Обозначим B'M=x
.
Пусть MH
— высота треугольника BMD'
. Тогда MH
— перпендикуляр к плоскости BB'D'D
, причём
B'H=MH=BM\cos45^{\circ}=\frac{x\sqrt{2}}{2}~D'H=D'B'-B'H=a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}.
Рассмотрим прямоугольный треугольник BB'D'
с катетами BB'=a
, B'D'=a\sqrt{2}
и гипотенузой BD'=a\sqrt{3}
. Обозначим \angle BD'B'=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle BD'B'=\frac{BB'}{BD'}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки H
на BD'
. Тогда
HK=B'H\sin\alpha=\frac{a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}.
При этом, поскольку MH
— перпендикуляр к плоскости BB'D'D
, то KH
— ортогональная проекция наклонной MK
на эту плоскость. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах MK\perp BD'
. Следовательно, MKH
— линейный угол двугранного угла образованного проведённой плоскостью и плоскостью BB'D'D
. По условию \angle MKH=30^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника KHM
получаем
HK=MH\ctg30^{\circ}=\frac{x\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{3}.
Таким образом, получаем уравнение
\frac{a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{x\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{3},
из которого находим, что x=\frac{a}{2}
, т. е. точка M
— середина ребра B'C'
.
Значит, треугольник BMD'
равнобедренный со сторонами
MD'=MB=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~BD'=a\sqrt{3}
и высотой
MK=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.
Пусть искомая площадь сечения равна S
. Тогда
S=2S_{\triangle BMD'}=2\cdot\frac{1}{2}BD'\cdot MK=BD'\cdot MK=a\sqrt{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 3