14841. Дан куб с основанием
ABCD
и боковыми рёбрами
AA'
,
BB'
,
CC'
,
DD'
. Ребро куба равно
a
. Через диагональ
BD'
куба проведена плоскость, образующая угол
30^{\circ}
с плоскостью
BB'D'D
. Найдите площадь получившегося сечения.
Ответ.
\frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}
.
Решение. Пусть проведённая плоскость пересекает ребра
B'C'
и
AD
в точках
M
и
N
соответственно. Тогда точки
M
и
N
симметричны относительно центра куба, поэтому искомая площадь сечения, т. е. площадь параллелограмма
BMD'N
равна удвоенной площади треугольника
BMD'
. Обозначим
B'M=x
.
Пусть
MH
— высота треугольника
BMD'
. Тогда
MH
— перпендикуляр к плоскости
BB'D'D
, причём
B'H=MH=BM\cos45^{\circ}=\frac{x\sqrt{2}}{2}~D'H=D'B'-B'H=a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}.

Рассмотрим прямоугольный треугольник
BB'D'
с катетами
BB'=a
,
B'D'=a\sqrt{2}
и гипотенузой
BD'=a\sqrt{3}
. Обозначим
\angle BD'B'=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\sin\angle BD'B'=\frac{BB'}{BD'}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.

Пусть
K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки
H
на
BD'
. Тогда
HK=B'H\sin\alpha=\frac{a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}.

При этом, поскольку
MH
— перпендикуляр к плоскости
BB'D'D
, то
KH
— ортогональная проекция наклонной
MK
на эту плоскость. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
MK\perp BD'
. Следовательно,
MKH
— линейный угол двугранного угла образованного проведённой плоскостью и плоскостью
BB'D'D
. По условию
\angle MKH=30^{\circ}
.
Из прямоугольного треугольника
KHM
получаем
HK=MH\ctg30^{\circ}=\frac{x\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{3}.

Таким образом, получаем уравнение
\frac{a\sqrt{2}-\frac{x\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{x\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{3},

из которого находим, что
x=\frac{a}{2}
, т. е. точка
M
— середина ребра
B'C'
.
Значит, треугольник
BMD'
равнобедренный со сторонами
MD'=MB=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~BD'=a\sqrt{3}

и высотой
MK=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.

Пусть искомая площадь сечения равна
S
. Тогда
S=2S_{\triangle BMD'}=2\cdot\frac{1}{2}BD'\cdot MK=BD'\cdot MK=a\sqrt{3}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{6}}{2}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 8, задача 5, вариант 3