14842. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник ABCD
со сторонами AB=5
, BC=4
. Высота параллелепипеда равна \frac{10}{3}
. Через диагональ AC
основания проведена плоскость под углом 45^{\circ}
к ребру BC
. Найдите отношение объёмов частей, на которые эта плоскость делит параллелепипед.
Ответ. 7:17
.
Решение. Пусть плоскость, о которой говорится в условии, пересекает прямую BB'
в точке E
. Проведём из вершины B
угла высоту BP
прямоугольного треугольника ABC
и высоту BH
прямоугольного треугольника PBE
. Тогда BH
— перпендикуляр к плоскости AEC
, а CH
— ортогональная проекция наклонной BC
на эту плоскость, поэтому BCE
— угол прямой BC
с плоскостью AEC
. По условию \angle BCH=45^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
BH=BC\sin45^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
Обозначим \angle BEP=\angle PBH=\alpha
. Из прямоугольных треугольников ABC
, BHP
и PHE
находим, что
BP=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{5\cdot4}{\sqrt{5^{2}+4^{2}}}=\frac{20}{\sqrt{41}},
\cos\alpha=\cos\angle BPH=\frac{BH}{BP}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{20}{\sqrt{41}}}=\frac{\sqrt{82}}{10},~\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{82}{100}}=\frac{3\sqrt{2}}{10},
BE=\frac{BH}{\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{10}}=\frac{20}{3}=2BB'.
Пусть прямые AE
и BE
пересекают рёбра A'B'
и C'B'
в точках M
и N
соответственно. Тогда сечение данного параллелепипеда плоскостью AEC
— трапеция AMNC
.
Объём V_{1}
части параллелепипеда, содержащей вершину B
, равен объёму V_{2}
треугольной пирамиды ABCE
с высотой BE=BB'
за вычетом объёма подобной ей с коэффициентом \frac{1}{2}
треугольной пирамиды MB'NE
, равного \frac{1}{8}V_{2}
, т. е.
V_{1}=V_{2}-\frac{1}{8}V_{2}=\frac{7}{8}V_{2}=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot2BB'=\frac{7}{24}\cdot2S_{\triangle ABC}\cdot BB'=\frac{7}{24}V,
где V
— объём данного параллелепипеда. Тогда объём V_{3}
части параллелепипеда, не содержащей вершину B
, равен
V_{3}=V-V_{1}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.
Следовательно, искомое отношение объёмов равно
\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{\frac{7}{24}V}{\frac{17}{24}V}=\frac{7}{17}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 10, задача 5, вариант 4