14842. В основании прямоугольного параллелепипеда лежит прямоугольник
ABCD
со сторонами
AB=5
,
BC=4
. Высота параллелепипеда равна
\frac{10}{3}
. Через диагональ
AC
основания проведена плоскость под углом
45^{\circ}
к ребру
BC
. Найдите отношение объёмов частей, на которые эта плоскость делит параллелепипед.
Ответ.
7:17
.
Решение. Пусть плоскость, о которой говорится в условии, пересекает прямую
BB'
в точке
E
. Проведём из вершины
B
угла высоту
BP
прямоугольного треугольника
ABC
и высоту
BH
прямоугольного треугольника
PBE
. Тогда
BH
— перпендикуляр к плоскости
AEC
, а
CH
— ортогональная проекция наклонной
BC
на эту плоскость, поэтому
BCE
— угол прямой
BC
с плоскостью
AEC
. По условию
\angle BCH=45^{\circ}
. Из прямоугольного треугольника
BHC
находим, что
BH=BC\sin45^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.

Обозначим
\angle BEP=\angle PBH=\alpha
. Из прямоугольных треугольников
ABC
,
BHP
и
PHE
находим, что
BP=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{5\cdot4}{\sqrt{5^{2}+4^{2}}}=\frac{20}{\sqrt{41}},

\cos\alpha=\cos\angle BPH=\frac{BH}{BP}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{20}{\sqrt{41}}}=\frac{\sqrt{82}}{10},~\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\sqrt{1-\frac{82}{100}}=\frac{3\sqrt{2}}{10},

BE=\frac{BH}{\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{\frac{3\sqrt{2}}{10}}=\frac{20}{3}=2BB'.

Пусть прямые
AE
и
BE
пересекают рёбра
A'B'
и
C'B'
в точках
M
и
N
соответственно. Тогда сечение данного параллелепипеда плоскостью
AEC
— трапеция
AMNC
.
Объём
V_{1}
части параллелепипеда, содержащей вершину
B
, равен объёму
V_{2}
треугольной пирамиды
ABCE
с высотой
BE=BB'
за вычетом объёма подобной ей с коэффициентом
\frac{1}{2}
треугольной пирамиды
MB'NE
, равного
\frac{1}{8}V_{2}
, т. е.
V_{1}=V_{2}-\frac{1}{8}V_{2}=\frac{7}{8}V_{2}=\frac{7}{8}\cdot\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot2BB'=\frac{7}{24}\cdot2S_{\triangle ABC}\cdot BB'=\frac{7}{24}V,

где
V
— объём данного параллелепипеда. Тогда объём
V_{3}
части параллелепипеда, не содержащей вершину
B
, равен
V_{3}=V-V_{1}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.

Следовательно, искомое отношение объёмов равно
\frac{V_{1}}{V_{3}}=\frac{\frac{7}{24}V}{\frac{17}{24}V}=\frac{7}{17}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1976, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 10, задача 5, вариант 4