14854. В основании четырёхугольной призмы ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
лежит квадрат ABCD
со стороной 2, точка M
— середина ребра BC
. Сфера касается боковых рёбер AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
и плоскости основания ABCD
в точке M
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}
.
Указание. Если N
, K
, L
, P
— точки касания сферы соответственно с рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
, то AN=DP=\sqrt{5}
, BK=CL=2
и диаметр сферы равен диагонали прямоугольника NKLP
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1988, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 217, задача 5, вариант 2