14855. В основании треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит равнобедренный треугольник ABC
с основанием BC=8
и медианой AM=6
, точка P
— середина медианы AM
. Сфера касается боковых рёбер AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
призмы и плоскости основания ABC
в точке P
. Найдите радиус сферы.
Ответ. 3\sqrt{2}
.
Указание. Пусть K
, L
и M
— точки касания сферы с рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно. Тогда AK=3
, BL=CM=5
, радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника KLM
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1988, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 218, задача 5, вариант 3