14856. В основании треугольной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 2, точка M
— середина ребра BC
. Сфера касается боковых рёбер AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
призмы и плоскости основания ABC
в точке M
. Найдите радиус сферы.
Ответ. \sqrt{\frac{3(1+2\sqrt{3})}{11}}
.
Указание. Пусть K
, L
, N
— точки касания сферы с рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
соответственно. Тогда AK=\sqrt{3}
, BL=CN=1
, а радиус сферы равен радиусу окружности, описанной около равнобедренного треугольника KLN
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1988, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 218, задача 5, вариант 4