1486. Стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и сумма двух его противоположных углов равна 2\varphi
. Докажите, что площадь четырёхугольника равна \sqrt{abcd}\sin\varphi
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.
Решение. Пусть угол между сторонами a
и b
равен \alpha
, а угол между сторонами c
и d
равен \beta
. Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=c^{2}+d^{2}-2cd\cos\beta.
Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то a+c=b+d
, или a-b=d-c
. Тогда
a^{2}+b^{2}-2ab=c^{2}+d^{2}-2cd
Вычитая из первого равенства второе, получим, что
ab-ab\cos\alpha=cd-cd\cos\beta~\Rightarrow~ab-cd=ab\cos\alpha-cd\cos\beta~\Rightarrow
\Rightarrow~(ab-cd)^{2}=(ab\cos\alpha-cd\cos\beta)^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}b^{2}-2abcd+c^{2}d^{2}=a^{2}b^{2}\cos^{2}\alpha-2abcd\cos\alpha\cos\beta+c^{2}d^{2}\cos^{2}\beta.\eqno(1)
Пусть S
— площадь данного четырёхугольника. Тогда
2S=ab\sin\alpha+cd\sin\beta~\Rightarrow
\Rightarrow~4S^{2}=a^{2}b^{2}\sin^{2}\alpha+2abcd\sin\alpha\cos\beta+c^{2}d^{2}\sin^{2}\beta.\eqno(2)
Сложив почленно равенства (1) и (2), получим, что
a^{2}b^{2}-2abcd+c^{2}d^{2}+4S^{2}=
=a^{2}b^{2}\cos^{2}\alpha-2abcd\cos\alpha\cos\beta+c^{2}d^{2}\cos^{2}\beta+a^{2}b^{2}\sin^{2}\alpha+2abcd\sin\alpha\cos\beta+c^{2}d^{2}\sin^{2}\beta~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}b^{2}-2abcd+c^{2}d^{2}+4S^{2}=a^{2}b^{2}-2abcd\cos\alpha\cos\beta+c^{2}d^{2}+2abcd\sin\alpha\cos\beta~\Rightarrow
\Rightarrow~-2abcd+4S^{2}=-2abcd(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cos\beta)~\Rightarrow
\Rightarrow~4S^{2}=2abcd(1-\cos(\alpha+\beta))=4abcd\sin^{2}\frac{\alpha+\beta}{2}=4abcd\sin^{2}\varphi.
Следовательно, S=\sqrt{abcd}\sin\varphi
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.45(в), с. 88
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.46(в), с. 87
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 515, с. 63
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 82, с. 146
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 253, с. 39