14861. В правильной треугольной пирамиде SABC
на ребре BC
выбрана точка M
, причём BM:MC=1:2
. Через середины боковых рёбер SA
и SC
и точку M
проведено сечение плоскостью. Известно, что площадь сечения равна 30, а плоскость сечения образует с плоскостью основания угол 30^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. 72\sqrt{3}
.
Указание. Пусть K
, L
и N
— точки пересечения секущей плоскости с рёбрами SA
, SC
и AB
соответственно; SH
— высота пирамиды, опущенная на основание ABC
; K'
и L'
— ортогональные проекции точек K
и L
на плоскость ABC
. Тогда K'
и L'
— середины отрезков AH
и CH
, а площадь трапеции MNK'L'
равна площади сечения, умноженной на \cos30^{\circ}
. Отсюда находится сторона основания AB=12
, а затем высота пирамиды SH=6
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1990, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 220, задача 5, вариант 2