14862. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S
через середины рёбер AB
и AD
основания и бокового ребра SC
проведено сечение плоскостью. Известно, что площадь сечения равна 2\sqrt{2}
и плоскость сечения образует с плоскостью основания ABCD
угол 45^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{8\sqrt{2}}{3}
.
Указание. Ортогональная проекция сечения на плоскость основания — пятиугольник MNPKL
. Если SH
— высота пирамиды, то K
— середина отрезка CH
, точки P
и L
лежат на диагонали BD
, причём BP=DL=\frac{1}{8}BD
, M
и N
— середины рёбер AD
и AB
. Учитывая, что площадь ортогональной проекции получается умножением площади сечения на \cos45^{\circ}
, находим сторону основания a=2
. Секущая плоскость делит высоту SH
в отношении 3:1
, считая от вершины S
, отсюда находим, что SH=2\sqrt{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1990, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 222, задача 5, вариант 3