14863. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с вершиной S
через ребро AB
основания и середину высоты SH
пирамиды проведено сечение плоскостью. Известно, что площадь сечения равна 11 и плоскость сечения образует с плоскостью основания ABCDEF
угол в 30^{\circ}
. Найдите объём пирамиды.
Ответ. \frac{27\sqrt{3}}{2}
.
Указание. Ортогональная проекция сечения на плоскость ABCD
— шестиугольник ABKLMN
, вершины K
и N
которого — середины отрезков CH
и F
, точки H
, L
и M
лежат на отрезках DH
и EH
соответственно, DL=\frac{2}{3}DH
, EM=\frac{2}{3}EH
. Площадь проекции равна произведению площади сечения на \cos30^{\circ}
. Отсюда найдём сторону основания a=3
и высоту SH=3
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1990, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 222, задача 5, вариант 4