14864. В кубе ABCDA'B'C'D'
с боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
рёбра равны 5. Точки K
и L
расположены соответственно на рёбрах B'C'
и CD
, причём B'K:KC'=DL:LC=1:2
. Центр шара, касающегося плоскостей ABCD
и ABB'A'
, лежит на отрезке KL
. Найдите радиус шара.
Ответ. 3.
Решение. Поскольку шар вписан в двугранный угол, образованный гранями ABCD
и ABB'A'
, его центр O
лежит в биссекторной плоскости этого двугранного угла, т. е. в плоскости ABC'D'
. Значит, O
— точка пересечения отрезка KL
с плоскостью ABC'D'
.
Пусть M
— ортогональная проекция точки L
на ребро AB
. Тогда ML\parallel AD\parallel B_{1}C_{1}
, поэтому прямая KL
лежит в плоскости LMB'C'
. Поскольку M
и C'
— общие точки плоскостей LMB'C'
и ABC'D'
, эти плоскости пересекаются по прямой MC'
. Следовательно, центр O
шара — точка пересечения отрезков KL
и MC'
, а перпендикуляр ON
к плоскости ABCD
— радиус R
шара.
Треугольник LOM
подобен треугольнику KOC'
с коэффициентом \frac{ML}{KC'}=\frac{2}{3}
, а треугольник ONM
подобен треугольнику C'CM
с коэффициентом
\frac{OM}{C'M}=\frac{3}{3+2}=\frac{3}{5}.
Следовательно,
R=ON=\frac{3}{5}C'C=\frac{3}{5}\cdot5=3.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 223, задача 5, вариант 1