14866. В основании правильной четырёхугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD
со стороной 6, высота пирамиды равна 4
. Точки K
и L
расположены соответственно на рёбрах AD
и SC
, причём AK:KD=SL:LC=1:2
. Центр шара, касающегося плоскостей ASB
и CSD
, лежит на отрезке KL
. Найдите радиус шара.
Ответ. \frac{8}{5}
.
Указание. Пусть M
и N
— середины AD
и BC
соответственно. Плоскость SMN
делит пополам двугранный угол, образованный плоскостями SAB
и SCD
. Если P
— точка пересечения прямых MN
и KC
, то отрезок SP
пересекает прямую KL
в центре искомого шара.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 224, задача 5, вариант 3