14868. В основании прямой треугольной призмы ABCA'B'C'
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 1. Прямая l
проходит через точку A
параллельно BC'
. На прямой l
выбрана точка P
, причём точки P
и A'
лежат по одну сторону от плоскости ABC
. Найдите максимально возможный объём пирамиды PABC
, если PQ=\sqrt{3}
, а точка Q
лежит на прямой BC
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{8}
.
Решение. Прямые BC'
и AP
параллельны, поэтому параллельны и их ортогональные проекции на плоскость ABC
. Значит, ортогональная проекция N
точки P
лежит на прямой, проходящей через вершину A
параллельно BC
.
Пусть M
— ортогональная проекция точки P
на прямую BC
. По теореме о трёх перпендикулярах отрезок MN
перпендикулярен прямой BC
, лежащей в плоскости ABC
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников PMN
и PMQ
получаем
PN^{2}=PM^{2}-MN^{2}=(PQ^{2}-MN^{2})-MQ^{2}=(PQ^{2}-MN^{2})-MQ^{2}=
=\left((\sqrt{3})^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)-MQ^{2}=\left(3-\frac{3}{4}\right)-MQ^{2}=\frac{9}{4}-MQ^{2}\leqslant\frac{9}{4},
причём равенство достигается в случае, когда точки M
и Q
совпадают. Значит, наименьшее значение высоты PN
пирамиды с фиксированным основанием ABC
площади \frac{\sqrt{3}}{4}
достигается, когда PN=\frac{3}{2}
. Следовательно, искомый наименьший объём V
равен
V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1992, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1992, с. 225, задача 5, вариант 1