14876. В треугольной пирамиде ABCD
рёбра AB=AC=BD=5
, AD=BC=\sqrt{10}
. Угол между гранями ABD
и ABC
равен 60^{\circ}
. Найдите ребро CD
.
Ответ. 3\sqrt{2}
.
Решение. Пусть DK
и CN
— высоты равнобедренных треугольников ABD
и ABC
соответственно, опущенные на их общую боковую сторону AB
. Через точку K
параллельно CN
и через точку C
параллельно AB
проведём прямые, пересекающиеся в некоторой точке M
. Плоскость DKM
перпендикулярна ребру AB
, поэтому DKM
— линейный угол двугранного угла при ребре AB
данной пирамиды. По условию \angle DKM=60^{\circ}
.
Обозначим \angle BAD=\alpha
. Пусть BL
— высота равнобедренного треугольника ABD
, опущенная на основание AD
. Из прямоугольных треугольников ALB
и AKD
находим
BL=\sqrt{AB^{2}-AL^{2}}=\sqrt{5^{2}-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^{2}}=\frac{3\sqrt{10}}{2},
\cos\alpha=\frac{AL}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{5}=\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{1}{\sqrt{10}},~\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}},
AK=AD\cos\alpha=\sqrt{10}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=1,~DK=DL\sin\alpha=\sqrt{10}\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}=3.
Прямоугольные треугольники CNB
и DKA
равны по гипотенузе и острому углу, поэтому
BN=AK=1,~CN=DK=3~\Rightarrow~KN=AB=AK-BN=5-1-1=3.
а так как CMKN
— прямоугольник, то MK=CN=3
и CM=KN=3
. Значит, равнобедренный треугольник DKM
— равносторонний, поэтому DM=3
.
Поскольку CM\parallel AB
и AB\perp DM
, то CM\perp DM
. Тогда равнобедренный треугольник CMD
— прямоугольный. Следовательно,
CD=DM\sqrt{2}=3\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1994, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 230, задача 5, вариант 1