14880. В основании правильной треугольной пирамиды ABCD
лежит правильный треугольник ABC
со стороной 1. Точка M
лежит на ребре AB
, причём BM=\frac{1}{4}AB
. Точка N
лежит на луче CD
, причём CN=3CD
. Найдите боковое ребро. пирамиды, если известно, что MN=5
.
Ответ. \frac{\sqrt{435}}{12}
.
Решение. Пусть H
— центр основания ABC
пирамиды, CK
— высота треугольника ABC
, P
— ортогональная проекция точки N
на плоскость ABC
. Тогда DH
— высота пирамиды, точка P
лежит на ортогональной проекции луча CK
на плоскость ABC
,
CK=\frac{\sqrt{3}}{2},~CH=\frac{2}{3}CK=\frac{\sqrt{3}}{3},
а так как прямоугольные треугольники NPC
и DHC
подобны с коэффициентом \frac{CN}{CD}=3
, то
CP=3CH=\sqrt{3}=2CK,~DH=\frac{1}{3}NP.
Из прямоугольного треугольника PKM
с катетами KM=\frac{1}{4}
и KP=CK=\frac{\sqrt{3}}{2}
находим
PM=\sqrt{KM^{2}+KP^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{4}.
Тогда из прямоугольных треугольников NPM
и DHC
получаем
NP=\sqrt{NM^{2}-PM^{2}}=\sqrt{5^{2}-\frac{13}{4^{2}}}=\frac{1}{4}{\sqrt{387}}=\frac{3}{4}\sqrt{43},
DH=\frac{1}{3}NP=\frac{\sqrt{43}}{4},~CD=\sqrt{DH^{2}+CH^{2}}=\sqrt{\frac{43}{16}+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{145}{48}}=\frac{\sqrt{435}}{12}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 233, задача 4, вариант 1