14883. В правильной треугольной пирамиде ABCD
с вершиной D
боковые рёбра равны 2. Точка M
лежит на луче BA
, причём BM=2BA
. Точка N
лежит на луче CD
, причём CN=2CD
. Найдите ребро BC
, если MN=5
.
Ответ. 3.
Указание. Пусть P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки N
на плоскость ABC
, CK
— высота треугольника ABC
. Тогда точка P
лежит на луче CK
, CP=\frac{4}{3}CK
. Треугольники CNP
, NMP
и MPK
прямоугольные. Положим AB=x
, тогда CK=\frac{\sqrt{3}}{2}x
, MK=\frac{3}{2}x
. Используя теорему Пифагора и выражая через x
отрезок NP
сначала из треугольника CPN
, а затем последовательно отрезки MP
и NP
из треугольников PMK
и MPN
, получим уравнение относительно x
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1995, задача 4, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1995, с. 234, задача 4, вариант 4