14885. Основания усечённой пирамиды параллельны между собой и являются правильными треугольниками. Меньшее из оснований лежит в диаметральной плоскости сферы, касающейся другого основания и продолжений всех остальных граней пирамиды. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостями оснований один и тот же угол, равный 60^{\circ}
. Найдите отношение периметров оснований.
Ответ. 1+\frac{1}{\sqrt{13}}
.
Указание. Пусть угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания равен \alpha
. Тогда \tg\alpha=2\sqrt{3}
, а искомое отношение равно \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha-\tg\frac{\alpha}{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 236, задача 5, вариант 2