14886. Основания усечённой пирамиды параллельны между собой, являются правильными треугольниками, а их периметры относятся как 8:5
. Сфера с центром в плоскости меньшего основания, касается другого основания и продолжений всех остальных граней пирамиды. Найдите углы, образованные боковыми рёбрами пирамиды с большим основанием, если известно, что все эти углы одинаковы.
Ответ. \arctg\frac{2}{3}
.
Указание. Пусть \alpha
и \beta
— углы, образованные соответственно боковыми гранями и боковыми рёбрами пирамиды с плоскостью большего основания. Покажите, что \tg\alpha=2\tg\beta
, а отношение периметров оснований равно \frac{\tg\alpha}{\tg\alpha-\tg\frac{\alpha}{2}}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 236, задача 5, вариант 3