14887. Основания усечённой пирамиды параллельны между собой и являются правильными треугольниками. Большее из оснований лежит в диаметральной плоскости сферы, касающейся другого основания и всех остальных граней пирамиды. Боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостями оснований один и тот же угол, равный 30^{\circ}
. Найдите отношение периметров оснований.
Ответ. \frac{\sqrt{21}+7}{4}
.
Указание. Пусть угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью большего основания равен \alpha
. Тогда \tg\alpha=2\tg30^{\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}
. Покажите, что отношение периметров оснований равно \frac{\tg\alpha-\sin\alpha}{\tg\alpha}=1-\cos\alpha
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1996, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 237, задача 5, вариант 4