14892. Рёбра куба ABCDA'B'C'D'
равны 1, точка M
— середина BC
. Точка P
на прямой A'C'
и точка Q
на прямой B'M
выбираются так, что прямая PQ
параллельна плоскости AA'B'B
. Найдите наименьший из всех возможных отрезков PQ
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Введём прямоугольную систему координат B'xyz
с началом в точке B'
, направив ось B'x
по лучу B'C'
, ось B'y
— по лучу B'A'
, ось B'z
— по лучу B'B
.
Тогда точка P
лежит на прямой x+y=1
, поэтому её координаты — P(x;1-x;0)
. Пусть N
— ортогональная проекция точки Q
на прямую B'C'
. Её координаты — N(x;0;0)
. Поскольку прямые PN
и QN
соответственно параллельны прямым A'B'
и BB'
, плоскости PNQ
и AA'B'B
параллельны. Значит, прямая PQ
параллельна плоскости AA'B'B
.
Точка Q
лежит на прямой z=2x
, поэтому её координаты — Q(x;0;2x)
. По формуле расстояния между двумя точками
PQ^{2}=(x-x)^{2}+(0-1+x)^{2}+(2x-0)^{2}=(1-x)^{2}+4x^{2}=
=5x^{2}-2x+1=5\left(x^{2}-2\cdot\frac{1}{5}x+\frac{1}{25}-\frac{1}{25}\right)+1=5\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}+\frac{4}{5}\leqslant\frac{4}{5},
причём равенство достигается, если x=\frac{1}{5}
. Следовательно, наименьший отрезок PQ
, удовлетворяющий условию задачи, равен \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1998, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1998, с. 240, задача 5, вариант 1