14897. Основание пирамиды SABCD
— параллелограмм ABCD
. Точка E
делит ребро CD
в отношении 1:2
, считая от вершины C
. Точка F
выбрана на луче BS
так, что BF:BS=6:5
. Через точки E
, F
и середину ребра AS
проведена плоскость. В каком отношении она делит отрезок AC
?
Ответ. 3:7
, считая от вершины A
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AS
, N
— точка пересечения прямых FM
и AB
, L
— точка пересечения секущей плоскости с отрезком AC
.
Пусть прямая, проведённая через вершину S
параллельно рёбрам AB
и CD
, пересекает прямую FM
в точке P
. Обозначим PS=t
. Из подобия треугольников PFS
и NFB
и равенства треугольников PMS
и NMA
вытекает, что
NB=PS\cdot\frac{BF}{FS}=6t,~AN=PS=t.
Значит,
CD=AB=AN+NB=t+6t=7t~\Rightarrow~CE=\frac{1}{3}CD=\frac{7}{3}t.
Тогда из подобия треугольников ALN
и CLE
находим, что
\frac{AL}{LC}=\frac{AN}{CE}=\frac{t}{\frac{7}{3}t}=\frac{3}{7}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет НГУ. — 1999, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 243, задача 5, вариант 2