14900. Через вершину A
треугольника ABC
проведена прямая m
, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Шар радиуса r
касается всех сторон треугольника и прямой m
. Найдите расстояние от точки A
до центра шара, если известно, что AB=AC
, \angle BAC=120^{\circ}
.
Ответ. \frac{r\sqrt{5}}{2}
.
Решение. Сечение шара плоскостью ABC
— круг, вписанный в треугольник ABC
. Центр O
шара лежит на прямой OD
, перпендикулярной плоскости ABC
и проходящей через центр D
вписанного в треугольник круга. Центр круга лежит на биссектрисе угла BAC
, следовательно, \angle BAD=60^{\circ}
. Кроме того, AD
общий перпендикуляр параллельных прямых m
и OD
. Он равен расстоянию от точки O
до прямой m
, т. е. радиусу r
данного шара.
Пусть E
и M
— точки касания шара со стороной AB
и прямой m
соответственно. По теореме Пифагора
AO^{2}=AD^{2}+OD^{2}=OM^{2}+(OE^{2}-DE^{2})=OM^{2}+OE^{2}-(AD\sin\angle DAE)^{2}=
=r^{2}+r^{2}-r^{2}\sin^{2}60^{\circ}=2r^{2}-\frac{3}{4}r^{2}=\frac{5}{4}r^{2}.
Следовательно, AO=\frac{r\sqrt{5}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1975, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 116, задача 5, вариант 1