14908. Дан куб с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Через вершину B
и середины рёбер CC'
и A'D'
проведена плоскость. Найдите двугранный угол, образованный этой плоскостью и плоскостью основания.
Ответ. \arctg\frac{\sqrt{13}}{4}
.
Решение. Пусть M
и N
— середины рёбер CC'
и A'D'
соответственно. Продолжим отрезок BM
до пересечения с продолжением ребра B'C'
в некоторой точке E
. Обозначим через F
и G
точки пересечения прямой EN
с ребром C'D'
и продолжением ребра A'B'
соответственно, а через K
— пересечение GB
с ребром AA'
. Тогда пятиугольник BMFNK
— сечение куба проведённой плоскостью. Поскольку плоскости граней ABCD
и A'B'C'D'
параллельны, будем искать угол между секущей плоскостью и гранью A'B'C'D'
. Обозначим его через \alpha
.
Пусть ребро куба равно a
, BH
— высота прямоугольного треугольника EB'G
. По теореме о трёх перпендикулярах BH\perp GE
, поэтому BHB'
— линейный угол искомого двугранного угла, т. е. \angle BHB'=\alpha
. Из равенства прямоугольных треугольников MC'E
и MCB
получаем, что C'E=BC=a
; из подобия прямоугольных треугольников NDF
и ECF
получаем, что
\frac{D'F}{FC'}=\frac{ND'}{EC'}=\frac{\frac{1}{2}a}{a}=\frac{1}{2};
а из равенства прямоугольных треугольников NA'G
и ND'F
— A'G=D'F=\frac{1}{3}a
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник EB'G
с катетами
B'E=B'C'+C'E=a+a=2a,~B'G=A'B'+A'G=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a,
гипотенузой
EG=\sqrt{B'E^{2}+B'G^{2}}=\sqrt{4a^{2}+\frac{16}{9}a^{2}}=\frac{2a\sqrt{13}}{3}
и высотой
B'H=\frac{B'E\cdot B'G}{EG}=\frac{2a\cdot\frac{4}{3}a}{\frac{2a\sqrt{13}}{3}}=\frac{4a}{\sqrt{13}}.
Из прямоугольного треугольника BB'H
находим, что
\tg\alpha=\tg\angle BHB'=\frac{BB'}{B'H}=\frac{a}{\frac{4a}{\sqrt{13}}}=\frac{\sqrt{13}}{4}.
Следовательно, \alpha=\arctg\frac{\sqrt{13}}{4}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1977, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 120, задача 5, вариант 1