14912. Дан куб с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
, DD'
. Точка N
— середина ребра AB
, точка M
— середина ребра BB'
, O
— точка пересечения диагоналей грани BCC'B'
. Через точку O
проведена прямая, пересекающая прямые AM
и CN
в точках P
и Q
. Найдите PQ
, если известно, что ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{\sqrt{14}}{3}
.
Решение. Через прямую AM
и не лежащую на ней точку M
проведём плоскость \alpha
. Сечение данного куба этой плоскостью — прямоугольник AMKD
со сторонами
KM=AD=1,~KD=AM=\sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Прямая CN
, лежащая в плоскости ABCD
, пересекает плоскость \alpha
в точке пересечения прямых AD
и CN
, лежащих в плоскости ABCD
. Это и есть указанная в условии точка Q
. Прямая OQ
, пересекает лежащую в плоскости \alpha
прямую CN
в указанной в условии точке P
.
Треугольник QAN
подобен треугольнику QDC
с коэффициентом \frac{AN}{DC}=\frac{1}{2}
, поэтому AD=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}
. Треугольник QAP
подобен треугольнику OMP
с коэффициентом \frac{AQ}{OM}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2
, поэтому
AP=2OM~\Rightarrow~AP=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
Прямая AQ
перпендикулярна плоскости ABB'A'
, поэтому \angle PAQ=90^{\circ}
. Следовательно,
PQ=\sqrt{AP^{2}+AQ^{2}}=\sqrt{\frac{5}{9}+1}=\frac{\sqrt{14}}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1978, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 123, задача 5, вариант 1