14914. Дан куб ABCDA'B'C'D'
с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA'
, BB'
, CC'
и DD'
. Точка M
— середина высоты AO
треугольника ADB
; KL
— средняя линия грани AA'B'B
, параллельная ребру AB
. Через точку M
проведена прямая, пересекающая прямые KL
и A'D'
в точках P
и Q
соответственно. Найдите PQ
, если ребро куба равно 1.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{8}
.
Решение. Пусть для определённости точка K
лежит на ребре AA'
. Через прямую KL
и не лежащую на ней точку M
проведём плоскость \alpha
. Поскольку прямая KL
параллельно плоскости ABCD
, плоскость \alpha
пересекает плоскость ABCD
по прямой, параллельной KL
, а значит, и AB
. Пусть N
и F
— точки пересечения этой прямой с рёбрами AD
и CD
соответственно. Заметим, что из условия следует, что O
— точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
.
Из подобия треугольников AMN
и CMF
получаем
\frac{AN}{ND}=\frac{AN}{CF}=\frac{AM}{CM}=\frac{1}{3},
поэтому
MN=AN=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{4}.
Прямые NK
и A'D'
, лежащие в плоскости ADD'A'
, пересекаются в той же точке, в которой плоскость \alpha
пересекает прямую A'D'
, т. е. в точке Q
, а прямая QM
пересекает прямую KL
в точке P
. Поскольку K
— середина ребра AA'
, а PK\parallel MN
, то K
— середина ребра AA'
. Значит, треугольники QPA'
и NPA
равны, поэтому
A'Q=AN=\frac{1}{4},~QK=KN,
а так как по теореме о трёх перпендикулярах \angle QNM=90^{\circ}
, то
KQ^{2}=KQ^{2}+KP^{2}=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}=\frac{5}{16},~QN^{2}=4KQ^{2}=\frac{5}{4}.
Значит,
QM=\sqrt{QN^{2}+AN^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{21}}{4}.
Следовательно,
PQ=\frac{1}{2}QN=\frac{\sqrt{21}}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1978, задача 5, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 123, задача 5, вариант 3