14915. В основании треугольной пирамиды SABC
лежит правильный треугольник ABC
со стороной, равной 1. Ребро SA
пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите радиус сферы, касающейся плоскости основания и боковых рёбер SA
, SB
и SC
.
Ответ. \frac{2}{2+\sqrt{3}+\sqrt{6}}
.
Указание. Пусть O
— центр сферы, E
и F
— его ортогональные проекции на плоскости ABS
и ABC
соответственно, D
— точка касания сферы с ребром SA
. Точка E
лежит на биссектрисе угла ASB
, а точка F
— на биссектрисе угла CAB
. Если R
— радиус сферы, то
OD=OF=AD=AF=R,~\angle ODE=\angle FAB=30^{\circ}.
Следовательно, DE=\frac{R\sqrt{3}}{2}
. С другой стороны,
DE=DS\tg\angle DSE=(1-R)\tg22{,}5^{\circ}=(1-R)(\sqrt{2}-1).
Приравнивая найденные значения DE
, получаем линейное уравнение относительно R
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1978, задача 5, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1978, с. 123, задача 5, вариант 4