14916. Ребро куба с основанием ABCD
и боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
и DD_{1}
равно 1. Точки M
, N
и K
лежат на рёбрах AA_{1}
, D_{1}C_{1}
и CC_{1}
соответственно, причём A_{1}M=\frac{\sqrt{3}}{2}
, D_{1}N=\frac{\sqrt{2}}{2}
, CK=\frac{\sqrt{3}}{3}
. Через точку K
проходит прямая l
, параллельная прямой MN
. Найдите отрезок прямой l
, заключённый внутри куба.
Ответ. 1.
Решение. Из прямоугольного треугольника A_{1}D_{1}N
находим, что
A_{1}N=\sqrt{A_{1}D_{1}^{2}+D_{1}N^{2}}=\sqrt{1^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Обозначим \angle A_{1}NM=\alpha
. Пусть прямая l
пересекает плоскость ABCD
в точке R
. Поскольку лучи KC
и KR
соответственно сонаправлены лучам A_{1}M
и NM
, то \angle CKR=\angle A_{1}MN=\alpha
. Из прямоугольного треугольника A_{1}NM
находим, что
\tg\alpha=\frac{A_{1}M}{A_{1}N}=\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
KR=\frac{KC}{\cos\angle CKR}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=1.
Пусть P
— точка пересечения прямых CR
и AB
. Тогда
CP=A_{1}N=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2},
CR=CK\tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}\lt\frac{\sqrt{6}}{2}=CP.
Следовательно, точка R
лежит внутри квадрата ABCD
, и поэтому KR
— искомый отрезок прямой l
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1979, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 125, задача 5, вариант 1