14917. Правильные треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
— основания прямой треугольной призмы с боковыми рёбрами AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
. Точки M
и N
— середины AA_{1}
и B_{1}C_{1}
соответственно. Через середину L
ребра AC
проходит прямая l
, параллельная отрезку MN
. Найдите отрезок прямой l
, заключённый внутри призмы, если все рёбра призмы равны 1.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Из прямоугольного треугольника MA_{1}N
находим, что
MN=\sqrt{A_{1}M^{2}+A_{1}N^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=1.
Катет A_{1}M
вдвое меньше гипотенузы, поэтому \angle A_{1}NM=30^{\circ}
.
Пусть прямая l
пересекает плоскость BCC_{1}B_{1}
в точке R
, а K
— ортогональная проекция точки R
на прямую BC
. Поскольку плоскости KLR
и A_{1}MN
параллельны, а ребро BC
— перпендикулярно плоскости A_{1}MN
, то BC
перпендикулярно плоскости KLR
, поэтому LK\perp BC
. Значит, отрезок LK
, проходящий через середину ребра AC
параллелен высоте AH
равностороннего треугольника ABC
. Тогда LK
— средняя линия прямоугольного треугольника AHC
, поэтому LK=\frac{1}{2}AH=\frac{\sqrt{3}}{4}
. Кроме того, LK\parallel AH\parallel A_{1}N
, RK\parallel A_{1}M
и LR\parallel MN
, поэтому прямоугольные треугольники и RKL
подобны. Значит, \angle KLR=\angle A_{1}MN=30^{\circ}
. Следовательно,
LR=\frac{LK}{\cos\angle KLR}=\frac{LK}{\cos30^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}.
Заметим, что точка K
лежит на ребре BC
, а точка R
— на плоскости BCC_{1}B_{1}
, причём
KR=\frac{1}{2}LR=\frac{1}{4}\lt1=CC_{1}.
Следовательно, точка R
лежит внутри квадрата BCC_{1}B_{1}
, и поэтому LR
— искомый отрезок прямой l
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1979, задача 5, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 126, задача 5, вариант 2