1493. Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.
Решение. Пусть точка M
лежит на биссектрисе угла с вершиной O
, окружность S_{1}
, проходящая через точки O
и M
, пересекает стороны этого угла в точках A
и C
, а окружность S_{2}
, также проходящая через точки O
и M
, пересекает эти стороны в точках B
и D
соответственно, причём точка A
лежит между O
и B
, а точка D
— между O
и C
.
Луч OM
— биссектриса AOC
, поэтому точка M
— середина не содержащей точку O
дуги AC
окружности S_{1}
, значит, AM=CM
. Аналогично, BM=DM
.
Четырёхугольник OAMC
вписан в окружность S_{1}
, поэтому
\angle DCM=\angle OCM=180^{\circ}-\angle OAM=\angle BAM.
Аналогично,
\angle ABM=\angle OBM=180^{\circ}-\angle ODM=\angle CDM.
Значит,
\angle AMB=180^{\circ}-\angle BAM-\angle ABM=180^{\circ}-\angle DCM-\angle CDM=\angle DMC.
Таким образом, треугольники AMB
и CMD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=CD
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.104
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.109, с. 42
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 419, с. 50