14930. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, в основании которого лежит квадрат ABCD
со стороной 3, боковые рёбра AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
, DD_{1}
равны 5. Равносторонний треугольник расположен в пространстве так, что одна его вершина совпадает с вершиной C
параллелепипеда, а две другие лежат на прямых BB_{1}
и C_{1}D_{1}
соответственно. Найдите медиану треугольника.
Ответ. \frac{3\sqrt{30}}{2}
.
Решение. Введём прямоугольную систему систему координат с началом в точке C(0;0;0)
, направив ось Cx
по лучу CD
, ось Cy
— по лучу CB
, а ось Cz
— по лучу CC_{1}
.
Пусть K(0;3;\alpha)
— вершина треугольника, лежащая на прямой лежащая на прямой BB_{1}
, L(\beta;0;5)
— вершина, лежащая на прямой C_{1}D_{1}
. Учитывая, что
CK^{2}=3^{2}+\alpha^{2},~CL^{2}=\beta^{2}+5^{2},
KL^{2}=3^{2}+\beta^{2}+(\alpha-5)^{2},
и принимая во внимание равенство сторон треугольника, получаем систему
\syst{3^{2}+\alpha^{2}=\beta^{2}+5^{2}\\3^{2}+\beta^{2}+(\alpha-5)^{2}=\beta^{2}+5^{2}\\}~\Leftrightarrow~\syst{\alpha^{2}=16+\beta^{2}\\(\alpha-5)^{2}=16.\\}
Из уравнения \alpha-5=\pm4
находим, что \alpha=1
или \alpha=9
. Значение \alpha=1
не может удовлетворять первому уравнению ни при каком \alpha
. При \alpha=9
получаем \beta=\pm\sqrt{65}
.
Таким образом, условию задачи удовлетворяют два правильных треугольника CKL
и CKL_{1}
с общими вершинами C(0;0;0)
и K(0;3;9)
. Вершины L(\sqrt{65};0;5)
и L_{1}(-\sqrt{65};0;5)
симметричны относительно плоскости BCC_{1}B_{1}
. Сторона каждого из них равна 3\sqrt{10}
, медиана равна \frac{3\sqrt{30}}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1983, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1983 с. 135, задача 5, вариант 1