14934. Дан куб ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
с ребром 1. Две сферы одинакового радиуса касаются друг друга, причём центр первой сферы совпадает с вершиной D
, а центр второй сферы расположен внутри куба и она касается рёбер трёхгранного угла с вершиной A_{1}
. Найдите радиус сфер.
Ответ. \frac{2}{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})
.
Решение. Пусть O
— центр второй сферы; K
, L
и M
— точки её касания с рёбрами AA_{1}
, A_{1}D
и A_{1}B_{1}
соответственно; S
и T
— ортогональные проекции точки O
на грани AA_{1}D_{1}D
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Отрезки касательных к сфере, выходящие из одной точки, равны между собой и перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания, поэтому
A_{1}K=A_{1}L=A_{1}M,~OK\perp A_{1}K,~OL\perp A_{1}L,~OM\perp A_{1}M.
По теореме о трёх перпендикулярах проекции SK
и SL
наклонных OK
и OL
на плоскость AA_{1}D_{1}D
перпендикулярны рёбрам AA_{1}
и A_{1}D_{1}
.
В прямоугольных треугольниках LOS
и KOS
с общим катетом OS
равны гипотенузы OL
и OK
, поэтому LS=KS
, точка S
лежит на диагонали A_{1}D
грани AA_{1}D_{1}D
, а A_{1}LSK
— квадрат. Аналогично, точка T
лежит на диагонали A_{1}C_{1}
грани A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, а A_{1}LTM
— квадрат, равный квадрату A_{1}LSK
. Если R
— радиус сферы, то из равенства LS=LT=OS
следует, что треугольник LSO
равнобедренный и OS=\frac{R}{\sqrt{2}}
.
Заметим, что
A_{1}S=OM=R,~SD=A_{1}D-A_{1}S=\sqrt{2}-R,
и, кроме того, OD=2R
, поскольку сферы с центрами O
и D
радиуса R
каждая касаются. Рассмотрев прямоугольный треугольник OSD
, получаем уравнение
4R^{2}=(\sqrt{2}-R)^{2}+\frac{1}{2}R^{2}
По условию задачи из которого находим, что R=\frac{2}{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})
или R=-\frac{2}{5}(\sqrt{7}+\sqrt{2})\lt0
. Поскольку R\gt0
, условию задачи удовлетворяет только R=\frac{2}{5}(\sqrt{7}-\sqrt{2})
. При этом выполнено неравенство
A_{1}S=R\lt\sqrt{2}=A_{1}D,
значит, центр O
лежит внутри куба, как это и требуется по условию.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1984, задача 5, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984 с. 138, задача 5, вариант 1